Вычисляется целое числох,которое является мультипликативно обратным числу у по модулю

Работа добавлена: 2018-07-06






4) вычисляется целое числох,которое является мультипликативно обратным числу у по модулю <р(л) и вместе спобразует открытый ключ шифрования(х, п).

Шифрование по алгоритму RSAвыполняется следующим образом:

С = Р* {modи}, где Р — открытый текст; С — шифротекст.

Для расшифрования шифротекста производится следующее действие:

Р =О{modи}.

В приведенных функциях шифрования и расшифрования предполагается, что Р<л (в противном случае открытый текст перед шифрованием разбивается на блоки).

Докажем, что при расшифровании по алгоритму RSAвосстанавливается открытый текст. Вначале рассмотрим случай, когда Р ипявляются взаимно простыми.

О {modп) = {V*y{mod «} = р*> {modn)= P1+«-<">k {modn) РР<>*}    Р!]

{л}    Р1{то<1л}    Р.

Сделаем необходимые пояснения. Равенствоху =1 +<р(п)к (к —произвольное целое число) следует из условия выбора значенияхРавенство Р*»> = 1 {modи} следует из теоремы Эйлера.

Теперь рассмотрим случай, когда Рил имеют общий делитель. Поскольку Р<«nn=pq,можно положить Р =кр,гдек— некоторое целое число. Тогда Р взаимно просто срР«"'=1 {modq)(из малой теоремы Ферма). Далее можно записать I""1 = P'W {modq)и 1 = рад |m0(jqyИз условия выборахследует, чтоху -1 =Шп)поэтому 1 = Р^-1 {mod ?}иР = F* {modq).Пустьа= Р^"1 {modq).Тогда 3 целое число г, для которого выполняется равенствоVxy == kp{rq + а).Тогдаkprq + kpa = P{modq}и, посколькуkprq =0 {modq]кра=кр{modq)и (а -\)рк =0 {modq).Haосновании выборапи того, что Р<«,k<qиa<q.Поэтомуа= 1. Отсюда Р^ {modn} = kp =Р.

Криптостойкость алгоритма RSAосновывается на сложности задачи разложения на множители большого целого числап(задачи факторизации я). Если криптоаналитику удастся разложитьпна множителириq,то он сможет вычислить значение ср(и) = =(Р ~ Щя -1), затем определить значениеуи раскрыть тем самым параметры шифрования. На современном уровне развития компьютерных технологий значениепдолжно содержать не менее 1024 бит.

При выборе параметров шифрования по алгоритму RSAпростые числа/? иqдолжны выбираться случайным образом. По теореме о простых числах вблизи целого числатв среднем есть одно простое число на Inmцелых чисел. Поэтому даже для очень больших простых чисел с сотнями десятичных цифр потребуется про-

верить на простоту только несколько сотен чисел. При подобной проверке могут использоваться различные тесты: Ферма, Соло-вея-Штрассена или Рабина.

Тест Ферма, например, основан на малой теореме Ферма. Еслир— проверяемое целое число, то выбираетсяа<р ипроверяется условиеap~l =I {mod^}.Рекомендуется выполнить эту проверку для 100 значенийа,чтобы с надежностью удостовериться в том, чтор —простое число.

Выбираемые простые числариqне должны принадлежать специальным классам целых чисел (числам Ферма или Мерсен-на), так как эти числа хорошо изучены, что облегчает задачу факторизациип.

Выбор секретного ключаув криптосистеме RSAвыполняется на основе вычисления НОД(у, (р(и)) с помощью алгоритма Евклида.

l.a = y;b = q>(n).

Еслиа ф Ь,то переход к п. 3, в противном случае — к п. 5.

Еслиа>Ь,тоа = а - Ь;в противном случаеb = b - а.

Переход к п. 2.

Конец (НОДС, ф(«)) =а).

Если НОДСу, ф(л)) = 1, то значениеувыбрано. Для вычисления значенияхкак мультипликативно обратного купо модулю ф(и) применяется частный режим работы расширенного алгоритма Евклида, использующего равенствоКОД(у,ср(и)) = 1 и трехмерные векторыu, vк t

н = {0, 1, ф(л)}; i/ = {1, 0, у}.

Еслищ=к п. 3.

s= [w3/f3] (целая часть); / = н -vq; u = v\ v- t;переход к п. 2.

Конец(х =«i).

Пример. Пустьр -5,q =11, ср(я) = 40,у =23. Требуется найтих=у'1{mod 40}. Применяя частный режим расширенного алгоритма Евклида, запишем промежуточные вычисления в табл. 4.2.

Таблица 4.2

"1

«3

0

1

40

1

0

23

1>

1

0

23

-1

1

17

1

-1

1

17

2

_j

6

2

2

-1

6

-5

3

5

1

-5

3

5

7

-4

1

7

-4

1

140




Возможно эти работы будут Вам интересны.

1. ТЕМА от греч. sysntem целое составленное из частей; соединение множество элементов находящихся в отношениях.

2. . Разбой относится к числу наиболее опасных насильственных форм хищения чужого имущества.

3. -либо обратимой операции как правило поразрядного сложения по модулю 2:

4. шифрования (используется сложение в кольце вычетов по модулю, равному мощности алфавита):

5. тема двух равных по модулю разноименных точечных зарядов расстояние между которыми значительно меньше р.

6. -во платежных средств которое население и фирмы хотят держать в ликвидной форме.

7. Внесём в электрическое поле которое назовём внешним пластинку диэлектрика например стекла.

8. Обозначьте понятие, которое характеризует совокупность археологических достопримечательностей, которые принадлежат к одному времени, определенной территории и имеют определенные особенности:

9. В РФ единственный источник власти – народ. Народовластие – волеизъявление народа в управлении государством непосредственно или через представителей, которое осуществляется свободно народом, но в соответствии с требованиями закона

10. . Гражданство Российской Федерации является единым.