. На продолжении этого перпендикуляра возьмём точкуP.

Работа добавлена: 2018-07-04






6.2. Дифракция Френеля на круглом отверстии и экране.

Рассмотренные в предыдущем параграфе методы алгебраического и графического сложения амплитуд позволяют решить простейшие задачи на дифракцию света.

Дифракция от круглого отверстия.

Поставим на пути сферической световой волны непрозрачный экран с вырезанным в нём круглым отверстием радиусаr0. Расположим экран так, чтобы перпендикуляр, опущенный из источника светаS, попал в центр отверстия(рис.1). На продолжении этого перпендикуляра возьмём точкуP. При радиусе отверстияr0, значительно меньшем, чем указанные нарис.1 длиныа иb, а можно считать равной расстоянию от источникаS до преграды, аb ─  расстоянию от преграды до точкиP. Если расстоянияаиbудовлетворяют условию(2.5)

                                                  (3.1)

гдеm целое число, то отверстие оставит открытыми ровно первых зон Френеля, построенных для точкиP.

Рис.1

Разрешив(3.1) относительноm, получим число открытых зон Френеля:

                                                      (3.2)

В соответствии с(2.6) амплитуда колебания в точкеP будет равна:

А=А1234+…+(-)Аm (3.3)

В этом выражении амплитудаАm берётся со знаком плюс, еслиm чётное.

   Формулу(3.3) можно записать следующим образом:

А=А1/2+(А1/2-А23/2)+…

Как было установлено в предыдущем параграфе, выражения, заключённые в круглые скобки, можно положить равными нулю. Амплитуды от двух соседних зон мало отличаются по величине. Поэтому (Аm-1/2)-Аmможно заменить через -Аm/2. В результате получится:

                                                    (3.4)

где опять - таки знак плюс берётся для нечётныхm и минус - для чётных.

При малыхm величинаАm мало отличается отА1. Следовательно, при нечётныхm амплитуда в точкеP будет приближённоА1, при чётныхm - нулю. Этот результат легко получить с помощью векторной диаграммы, изображённой нарис 63. Если убрать преграду, амплитуда в точкеP станет равнойА1/2[см 2.8]. Таким образом, преграда с отверстием, открывающим небольшое число зон, не только не ослабляет свет в точкеP, но напротив, приводит к увеличению амплитуды почти в два раза, а интенсивности - почти в четыре раза.

Заметим, что при неограниченном увеличении размеров отверстияАm будет стремиться к нулю и(3.4) перейдёт в(2.8).

Поместим в точкуP плоский экран, параллельный преграде с отверстием(рис. 1). Выясним характер дифракционной картины, которая будет наблюдаться на этом экране. Вследствие симметрии преграды относительно прямойSP интенсивность света (т.е. освещённость) в разных точках экрана будет зависеть только от расстоянийr от центра дифракционной картины, помещающегося в точкеP. В самой этой точке интенсивность будет достигать максимума или минимума в зависимости от того, каким - чётным или нечётным - будет число открытых зон Френеля. Пусть, например, это число - равно трём. Тогда в центре дифракционной картины получится максимум интенсивности. Картина зон Френеля для точкиP дана на (рис. 2.а). Теперь сместимся по экрану из точкиPв точкуP'. ПрямаяSP' уже не будет осью симметрии преграды. Ограниченная краями отверстия картина зон Френеля для точкиP' имеет вид, показанный на(рис 2.б). Края отверстия закроют часть третьей зоны, одновременно частично откроется четвёртая зона. В итоге интенсивность света уменьшится и при некотором положении точкиP' станет равной нулю. Если сместиться по экрану в точкуP'', края отверстия частично закроют не только третью, но и вторую зону Френеля, одновременно откроется частично и пятая зона(рис 2.в). В итоге действие открытых участков нечётных зон перевесит действие открытых участков чётных зон, и интенсивность достигнет максимума, правда, более слабого, чем максимум, наблюдающийся в точкеP.

Рис.2

Таким образом, дифракционная картина от круглого отверстия представляет собой чередование светлых и тёмных концентрических колец. В центре картины будет либо светлое(m нечётное), либо тёмное(m чётное) пятно .

Рис.3

Ход интенсивностиI с расстояниемr от центра дифракционной картины изображён на(рис.1.б) для нечётногоm и на(рис.1.в) для чётногоm. При перемещении экрана параллельно самому себе вдоль прямойSP картины, изображённые на(рис.3), будут сменять друг другасогласно(3.2) при измененииb значение mстановится то нечётным, то чётным].

Если отверстие открывает не более одной зоны Френеля, на экране получается размытое светлое пятно; чередование светлых и тёмных колец в этом случае не возникает. Если отверстие открывает большое число зон, чередование светлых и тёмных колец наблюдается лишь в очень узкой области на границе геометрической тени; внутри этой области на границе геометрической тени; внутри этой области освещённость оказывается практически постоянной.

Дифракция от круглого диска.

Поместим между точечным источником светаS и точкой наблюденияP круглый непрозрачный диск радиусаr0(рис.4.а) так,

Рис.4.

чтобы он закрывалm первых зон Френеляm можно найти по формуле(3.2)]. Тогда амплитуда световой волны в точкеP будет равна:

А=Аm+1m+2m+3-…=(Аm+1/2)+(Аm+1/2)-Аm+2+(Аm+3)/2]

Так как выражения, стоящие в скобках, можно положить равными нулю, получаем

А=Аm+1/2                              (3.5)

Выясним характер дифракционной картины, получающейся на экране, расположенном в точкеP перпендикулярно к линииSP. Очевидно, что интенсивность света может зависеть только от расстоянияr от центра картиныP. При небольшом числе закрытых зонАm+1 мало отличается отА1. Поэтому в точкеP, интенсивность будет почти такая же, как при отсутствии преграды междуS иPсм.2.8]. Для точкиP' смещённой относительно точкиP в любом радиальном направлении, диск будет перекрывать часть(m+1)-й зоны Френеля, одновременно откроется частьm-й зоны. Это приведёт к ослаблению интенсивности. При некотором положении точкиP' интенсивность станет равной нулю. Если сместиться из центра дифракционной картины ещё дальше, диск перекроет дополнительно часть(m+2)-й зоны, одновременно откроется часть(m-1)-й зоны. В результате интенсивность возрастёт и в точкеP'' достигает максимума.

Таким образом, в случае круглого непрозрачного диска дифракционная картина имеет вид чередующихся светлых и тёмных концентрических колец. В центре картины при любом (как чётном, так и нечётном)m получается светлое пятно(рис.5). Зависимость интенсивности светаI от расстоянияr центра картины изображена на(рис.4.б).

Рис.5

Если непрозрачный диск закрывает много зон Френеля, чередование светлых и тёмных колец наблюдается лишь в узкой области на границе геометрической тени. В этом случаеАm+1<<А1 и величина(3.5) очень мала, так что интенсивность света в области геометрической тени практически всюду равна нулю. Если диск закрывает лишь небольшую часть первой зоны Френеля, он совсем не отбрасывает тени - освещённость экрана всюду остаётся такой же, как при отсутствии преград.

Светлое пятнышко в центре тени, отбрасываемой диском, послужило причиной инцидента, происшедшего между Пуассоном и Френелем. Парижская Академия наук предложила дифракцию света в качестве темы на премию за 1818 г. Устроители конкурса были сторонниками корпускулярной теории света и рассчитывали, что конкурсные работы принесут окончательную победу их теории. Однако на конкурс была представлена Френелем работа, а которой все известные к тому времени оптические явления объяснились с волновой точки зрения.

Рассматривая работу Френеля, Пуассон, бывший членом конкурсной комиссии, обратил внимание на то, что из теории Френеля вытекает "нелепый" вывод: в центре тени, отбрасываемой небольшим круглым диском, должно находиться светлое пятно. Араго тут же произвёл опыт, и оказалось, что такое пятно действительно есть. Это принесло победу и всеобщее признание волновой теории света.

Дифракция от прямолинейного края полуплоскости.

Поместим на пути световой волны (которую мы для простоты будем считать плоской) непрозрачную полуплоскость с прямолинейным краем(рис.6).

Рис.6.

Расположим эту полуплоскость так, чтобы она совпала с одной из волновых поверхностей. За полуплоскостью поставим на расстоянииb параллельный ей экран, на котором возьмём точкуP. Разобьём открытую часть волновой поверхности на зоны, имеющие вид очень узких прямолинейных полосок, параллельных, краю полуплоскости. Ширину зон выберем так, чтобы отсчитанные в плоскости рисунка расстояния от точкиP до краёв любой зоны отличались на одинаковую величинуΔ. При этом условии колебания, создаваемые в точкеP соседними зонами, будут отличаться по фазе на постоянную величину.

Зонам, расположенным справа от точкиP, припишем номера 1, 2, 3 и так далее, расположенным слева - номера 1', 2', 3', и так далее ("штрихованные" и "не штрихованные" зоны). Зоны с номерамиm иm' имеют одинаковую ширину и расположены относительно точкиP симметрично. Поэтому создаваемые ими вP колебания совпадают по амплитуде и фазе. Для выяснения зависимости амплитуды от номера зоныm оценим площади зон. Из(рис.7) видно, что ширина первой зоны равна:

(вследствие узости зон Δ<<b)

рис.7

Суммарная ширина первыхm зон

При не очень большихm членомm2Δ2 под корнем можно пренебречь.

Тогда

Отсюда

Расчёт по этой формуле даёт, что

d1: d2: d3: d4: …=1:0,41:0,32:0,27: …                              (3.6)

В таких же соотношениях находятся и площади зон. Следовательно, амплитуда колебаний, создаваемых в точкеP отдельными зонами, вначале (для первых зон) убывает очень быстро; затем это убывание становится медленным. По этой причине ломаная линия, получающаяся при графическом сложении колебаний, возбуждаемых прямолинейными зонами, идёт сначала более полого, чем в случае кольцевых зон (площади которых при аналогичном построении, примерно равны). На(рис.8) сопоставлены обе векторные диаграммы. В обоих случаях отставание по фазе каждого следующего колебания взято одно и тоже. Величина амплитуды для кольцевых зон(рис.8.а) принята постоянной, а для прямолинейных зон(рис.8.б) - убывающей в соответствии с пропорцией(3.6). Графики на(рис.8) являются приближенными. При точном построении графиков, необходимо учитывать зависимость амплитуды отr иφсм.1.1]. Однако наобщем характере кривых это не отразится.

На(рис.8.б) показаны только колебания, вызванные зонами, лежащими справа от точкиP. Зоны с номерамиm иm' расположены симметрично относительно точкиP. Поэтому естественно при построении диаграммы

Рис.8.

векторы, изображающие соответствующие этим зонам колебания, располагать симметрично относительно начала координатО(рис.9). Если ширину зон устремить к нулю, ломаная линия, изображенная на(рис.9), превратится в плавную кривую(рис.10), которая называется спиралью Корню.

рис.9

Уравнение спирали Корню может быть найдено теоретически. В параметрической форме оно имеет вид:

(3.7)

Выражения(3.7) называются интегралами Френеля.

рис.10

Они не берутся в элементарных функциях, однако имеются таблицы, по которым можно находить значения интегралов для разныхυ. Чтобы понять смысл параметраυ сопоставим бесконечно узкую зону и возбуждаемое этой зоной в точкеP колебаниеdA. ВекторdA совпадает с участком спирали, отвечающим определённому значению параметраυ. Это значение связано с расстояниемх' от точкиP до проекции на экран данной бесконечно узкой зоны соотношением:

(23.8)

а - расстояние от источника света до полуплоскости,b - расстояние от полуплоскости до экрана,λ - длина волны).

В рассматриваемом нами случае плоской волныа= и

(23.9)

Числа, отмеченные вдоль кривой на(рис.10) дают значенияυ. ТочкиF1 иF2, к которым асимптотически приближается кривая при стремленииυ к +∞ и -∞ называются фокусами или полюсами спирали. Их координаты равны:

=1/2,=1/2  для точки F1

=-1/2,=-1/2  для точки F2

Первый завиток спирали(участок ОF1) соответствует зонам, расположенным справа от точкиP, левый завиток(участок ОF2) - зонам, расположенным слева от точкиP.

Рис.11

С помощью спирали Корню можно найти амплитуду светового колебания для точек, находящихся на любом расстояниих, от края геометрической тени(см. рис.6 ). Для точкиP лежащей на границе геометрической тени, все штрихованные зоны будут закрыты. Колебаниям от нештрихованных зон соответствует правый завиток спирали. Следовательно, результирующее колебание изобразится вектором, начало которого находится в точкеО, конец в точкеF1(рис.11,а).

При смещении точкиP в область геометрической тени полуплоскость станет закрывать всё большее число нештрихованных зон. Поэтому начало результирующего вектора будет перемещаться по правому витку, приближаясь к полюсуF1(рис.11.б). В результате амплитуда колебания в точкеP будет монотонно стремиться к нулю.

Вели точкаP от границы геометрической тени вправо в дополнение к нештрихованным зонам открывается всё возрастающее число штрихованных зон. Поэтому начало результирующего вектора скользит по левому завитку спирали в направлении к полюсуF2. В результате амплитуда проходит через ряд максимумов (первый из них равен длине отрезкаМF1 нарис.11.в), и минимумов (первый из них равен длине отрезкаNF1 нарис.11.г). При полностью открытой волновой поверхности амплитуда равна длине отрезкаF1F2(рис.11.д), т.е. ровно в два раза превышает амплитуду на границе геометрической тени(см.рис.11.а). Соответственно интенсивность на границе геометрической тени составляет 1/4 интенсивностиI0, получающейся на экране в отсутствие преград. Зависимость интенсивности  света от расстояниях дана на(рис.12).

Рис.12

Из графика видно, что при переходе в область геометрической тени интенсивность изменяется не скачком, а постепенно стремится к нулю. Справа от границы геометрической тени расположен ряд чередующихся максимумов и минимумов интенсивности. Максимумы получаются при значении параметраυ (для точек совпадающих с началом результирующего вектора), равных  1,22;  2,34;  3,08;  3,69 и т.д. Положивb=1м,λ=0,5мк, можно, подставив формулу(3.9) приведённые значенияυ, получить для координат максимумов(см.рис.12) следующие величины:х1=0,61мм,х2=1,17мм,х3=1,54мм,х4=1,85мм, …Таким образом, максимумы располагаются довольно густо. При меньших расстоянияхb максимумы располагаются ещё гуще. С помощью спирали Корню можно также найти относительную величину интенсивности в максимумах и минимумах. Для первого максимума получается значение 1,37 I0 для первого минимума 0,78 I0.

Дифракция от щели.

Бесконечно длинную щель образуют две обращённые в разные стороны полуплоскости, расстояние между краями которых равно ширине щели. Поэтому ясно, что задача о дифракции Френеля от щели может быть решена с помощью спирали Корню. Волновую поверхность падающего света, плоскость щели и экран, на котором наблюдается дифракционная картина, будем считать параллельными друг другу (рис.13).

Рис.13

Для точкиP, лежащей точно против середины щели, начало и конец вектора амплитуды оказываются в симметричных относительно начала координат точках спирали(рис.14). Если сместиться в точкуP', лежащую против края щели, начало результирующего вектора переместится в середину спиралиО. Конец вектора переместится по спирали в направлении полюсаF1, при углублении в область геометрической тени конец и начало вектора будут скользить по спирали и в конце концов окажутся в ближайших точках соседних витков кривой (см. на рис.14 вектор, соответствующий точкеP'').

Рис.14

Интенсивность света при этом, практически станет равной нулю. При дальнейшем скольжении по спирали начало и конец вектора снова отойдут друг от друга и интенсивность будет расти. То же самое будет происходить при смещении из точкиP в противоположную сторону, так как дифракционная картина должна быть симметричной относительно середины щели.

Рис.15

Если менять ширину щели, сдвигая полуплоскости в противоположные стороны, интенсивность в средней точкеP будет пульсировать, попеременно проходячерез максимумы (рис.15.а) и отличные от нуля минимумы (рис.15.а).

Итак, дифракционная картина от щели представляет собой либо светлую (в случае, изображённом на рис.15.а), либо относительно тёмную (в случае, изображённом на рис.15.б) центральную полосу, по обе стороны которой располагаются симметричные относительно неё чередующиеся тёмные и светлые полосы.

При большой ширине щели начало и конец вектора амплитуды лежат на внутренних витках спирали вблизи полюсовF1 и F2. Поэтому интенсивность света вне области геометрической тени будет практически постоянна. Только на границах геометрической тени образуется система густо расположенных узких тёмных и светлых полос.

6.3. Приближение Фраунгофера. Графическое сложение амплитуд световых волн. Дифракция на одной и на многих щелях.  Дифракционная решётка

Дифракция Фраунгофера от щели

Пусть на бесконечно длинную щель падает плоская световая волна (рис.16). Поместим за щелью собирательную линзу, а в фокальной плоскости линзы - экран.

рис.16

Волновая поверхность падающей волны, плоскость щели и экран параллельны друг другу.

Разобьём открытую часть волновой поверхности на параллельные краям щели элементарные зоны ширинойdх. Вторичные волны, посылаемые зонами под угломφ к оптической оси линзы, соберутся в некоторой точке экранаP. Каждая элементарная зона создаст в точкеP колебаниеdсм. формулу 1.1], которое можно изобразить с помощью вектораdA. Линза собирает в фокальной плоскости плоские (а не сферические) волны. Поэтому множитель1/r в выражении дляdв случае дифракции Фраунгофера будет отсутствовать. Ограничившись рассмотрением не очень больших угловφ, можно коэффициентК в формуле (1.1) считать приблизительно постоянным. Тогда амплитуда колебания, посылаемого зоной в любую точку экрана, будет зависеть только от площади зоны. Площадь пропорциональна ширине зоныdх. Следовательно, амплитудаdA колебанияd, возбуждаемого зоной шириныdхв любой точке экрана, может быть представлена в виде:

dA=C dх,

гдеС - коэффициент пропорциональности, независящий от углаφ.

Обозначим алгебраическую сумму амплитуд колебаний, посылаемых в некоторую точку экрана всеми зонами, через А0. Её можно найти проинтегрировавdAпо всей ширине щелиb:

А0=∫dА=0bСdх=Cb

ОтсюдаС=А0/b и, следовательно,

dA=(А0/b)dх

Теперь определим фазовые соотношения между отдельными колебаниямиd. Сопоставим фазы колебаний, создаваемых в точкеP элементарными зонами с координатамиО их(рис.16). Оптические путиОP иQP, таутохронны. Поэтому разность фаз между рассматриваемыми колебаниями образуется на путиΔ, равномх*sinφ. Если фазу колебания, создаваемого элементарной зоной, примыкающей к левому краю щели (х=0), положить равнойωt, то фаза колебания, создаваемого зоной с координатойх, будет равна

ωt-2π*(Δ/λ)=ωt-(2π/λ)*х*sinφ,

где λ - длина волны в данной среде.

Таким образом, колебание, создаваемое элементарной зоной с координатойх в точкеP, положение которой на экране определяется угломφ (рис.16), может быть представлено следующим образом:

d=(А0/b)*соsωt-(2π/λ)*х*sinφ]dх

Результирующее колебание, создаваемое в точкеP всем открытым участком волновой поверхности, найдём, проинтегрировавd по ширине щели:

=0b0/b)*соs(ωt-(2π/λ)*х*sinφ)dх=

0/b)*(-λ/2πsinφ)*sin(ωt-(2π/λ)*b*sinφ)-sinωt]=

А0sin(π/λ)*b*sinφ/(π/λ)*b*sinφ]*соs(ωt-(π/λ)*b*sinφ)

Модуль выражения, стоящего в квадратных скобках, даёт амплитудуАφ результирующего колебания в точкеP (положение которой определяется угломφ):

Аφ0sin(π/λ)*b*sinφ/(π/λ)*b*sinφ]                          (4.1)

Для точки, лежащей против центра линзы,φ=0. Подстановка этого значения в формулу (4.1)даётАφ=А0. Этот результат можно получить более быстрым путём. Приφ=0 колебания от всех элементарных зон приходят в точку P в одинаковой фазе. Поэтому амплитуда результирующего колебания равна алгебраической сумме амплитуд складываемых колебаний.

При значенияхφ, удовлетворяющих условию:

π/λ*b*sinφk*π, т.е. в случае, если

b*sinφk*λ         (k=1,2,3)                                      (4.2)

амплитудаАφ обращяется в нуль. Таким образом, условие (4.2), определяет положение минимумов интенсивности.

Условие (4.2) легко получить из следующих соображений. Если разность хода Δ от краёв щели равна ±kλ, открытую часть волновой поверхности можно разбить на 2/k равных по ширине зон, причём разность хода от краёв каждой зоны будет равна λ/2 (см.рис.83, выполненный дляk=2). Колебания, посылаемые в точку наблюдения P соответственными участками двух соседних зон (например, помеченными крестиками участками зон 1 и 2), находятся в противофазе. Поэтому колебания от каждой пары соседних зон взаимно погашают друг друга и результирующая амплитуда в точке P равна нулю. При Δ=±(k+1/2)*λ число зон будет нечётным, действие одной из них окажется не компенсированным, так что будет наблюдаться максимум интенсивности.

Рис.17

Интенсивность света пропорциональна квадрату амплитуды. Следовательно:

Iφ= I0*sin2(π/λ)*b*sinφ]/(π/λ)*b*sinφ](4.3)

гдеI0 - интенсивность света в середине дифракционной картины (против центра линзы),Iφ - интенсивность в точке, положение которой определяется данным значениемφ.

Из формулы (4.3) вытекает, чтоI= Iφ. Это означает, что дифракционная картина симметрична относительно центра линзы. Заметим, что при смещении щели параллельно экрану (вдоль оси х на рис.16) дифракционная картина, наблюдаемая на экране, остаётся неподвижной (её середина лежит против центра линзы), напротив, смещение линзы при неподвижной щели сопровождается, таким же смещением картины на экране.

График функции (4.3) изображён на рис.18. По оси абсцисс отложены значения sinφ, по оси ординат - интенсивностьIφ. Количество минимумов интенсивности определяется соотношением ширины щели b и длины волны λ. Из условия (4.2)

sinφk*λ/b. Модуль sinφ не может превзойти единицу. Поэтомуkλ/b≤1, откуда

k≤b/λ                                                            (4.4)

При ширине щели, меньшей длины волны, минимумы вообще не возникают. В этом случае интенсивность света монотонно совпадает от середины картины к её краям.

Рис.18

Значения углаφ, соответствующие краям центрального максимума, удовлетворяют условиюсм.(4.2)]:b*sinφ=±λ, откудаφ=±аrсsin(λ/b).

Следовательно, угловая ширина центрального максимума равна:

Δφ=2*аrсsin(λ/b)                                               (4.5)

В случае, если b>>λ, sin(λ/b) можно положить равным λ/b. Тогда формула для угловой ширины центрального максимума упрощается следующим образом:

Δφ=2*λ/b                                                     (4.6)

Решим задачу о дифракции Фраунгофера от щели методом графического сложения амплитуд. Разобьём открытую часть волновой поверхности на одинаковые по ширине очень узкие зоны. Колебание ΔА от каждой такой зоны имеет одинаковую амплитуду и отстаёт от предыдущего колебания по фазе на одну и ту же величину δ, зависящую от углаφ, определяющего направление на точку наблюдения P. Приφ=0 разность фаз δ равна нулю и векторная диаграмма имеет вид, показанный на рис.19.а

Рис.19

Амплитуда результирующего колебания А0 равна алгебраической сумме амплитуд складываемых колебаний. Если разность фаз колебаний, соответствующих краям щели, равна π (т.е. Δ=b*sinφ=λ/2), векторы ΔА располагаются вдоль полуокружности (рис19.б) длиной А0. Следовательно, для результирующей амплитуды получается значение: А=2*А0/π. В случае, когда Δ=b*sinφ=λ, колебания от краёв щели отличаются по фазе на 2π. Соответствующая векторная диаграмма изображена на рис.19.в. Векторы ΔА располагаются вдоль окружности длиной А0. Результирующая амплитуда равна нулю - имеет место первый минимум. Первый максимум наблюдается при Δ=b*sinφ=3λ/2. В этом случае колебания от краёв щели отличаются по фазе на 3π. Строя последовательно векторы ΔА, мы обойдём полтора раза окружность диаметра А1=2*А0/3π (рис.19.г).Таким образом, амплитуда А1 первого максимума составляет 2π/3 от амплитуды А0 нулевого максимума, а интенсивностьI1=(2*π/3)I0≈0,045*I0. Аналогично можно найти и относительную интенсивность остальных максимумов.

В итоге получаются следующие соотношения:

I0:I0:I0:I0:…=1:(2*π/3)2: (2*π/5)2: (2*π/7)2:…=1:0,045:0,016:0,008…(4.7)

Таким образом, центральный максимум значительно превосходит по интенсивности остальные максимумы, в нём сосредоточивается основная доля светового потока, прошедшего через щель. Если ширина щели b значительно меньше расстояния l от щели до экрана (рис.20), дифракция Фраунгофера будет иметь место и в отсутствие линзы между щелью и экраном (падающая на щель волна должна быть плоской).

Рис.20

В этом случае лучи, идущие в точку P от краёв щели, будут практически параллельными, так что все полученные нами выше результаты остаются справедливыми. В частности, будут справедливыми формулы (4.5) и (4.6) для ширины центрального максимума и соотношение (4.7) между интенсивностями.

Дифракционная решётка

Дифракционной решёткой называется совокупность большого числа одинаковых, отстоящих друг от друга щелей.

Рис.21

Расстояниеd между серединами соседних щелей называется постоянной или периодом решётки.

Расположим параллельно решётке собирательную линзу, в фокальной плоскости которой поставим экран.

Выясним характер дифракционной картины, получающейся на экране при падении на решётку плоской световой волны (для простоты будем считать волновые поверхности параллельными плоскости решётки). Каждая из щелей даст на экране картину, описываемую графиком, изображённым на рис.18. Картины от всех щелей придутся на одно и то же место экрана (независимо от положения щели, центральный максимум лежит против центра линзы). Если бы колебания, приходящие в точку Р от различных щелей, были некогерентными, результирующая картина от N щелей отличалась бы от картины, создаваемой одной щелью, лишь тем, что все интенсивности возросли бы в N раз. Однако колебания от различных щелей являются когерентными; поэтому для нахождения результирующей интенсивности нужно найти фазовые соотношения между этими колебаниями.

Разобьём открываемую щелями часть волновой поверхности на очень узкие параллельные щелям зоны. Вектор амплитуды колебания, создаваемого в точке Р экрана i-й зоной, обозначим ΔАi. Тогда вектор амплитуды результирующего колебания можно представить следующим образом:

А=ΣΔАi=ΣΔАi+ΣΔАi+…+ΣΔАi12+…+Аn

по всем   по1-й      по2-й              по n-й

                                                     щелям     щели      щели               щели

где Аi - вектор амплитуды колебания, создаваемого в точке Р i-й щелью. Модули всех этих векторов одинаковы и зависят от углаφсм.формулу(4.1)].Каждый следующий вектор повёрнут относительно предыдущего на один и тот же угол, равный разности фаз δ колебаний, возбуждаемых соседними щелями.

Для направлений, удовлетворяющих условию:

bsinφkλ (k=1,2,3…)                                                (5.1)

Все Аi равны нулюсм.формулу(4.2)]. Поэтому и амплитуда результирующего колебания в соответствующей точке экрана будет равна нулю. Таким образом, условие вне (5.1) минимума для одной щели является также условием минимума для решётки.

Из рис.21 видно, что разность хода лучей от соседних щелей равна Δ=d*sinφ. Следовательно, разность фаз

δ=2πΔ/λ=2πdsinφ

где λ - длина волны в данной среде.

Для тех направлений, для которых δ=±2πm, т.е.

dsinφ=±mλ  (m=0,1,2…),                                         (5.2)

колебания от отдельных щелей взаимно усиливают друг друга, вследствие чего амплитуда колебаний в соответствующей точке экрана равна

Аmах=NАφ,                                                (5.3)

Где Аφ -  амплитуда колебания посылаемого одной щелью под угломφ.

Формула (5.2) определяет положения максимумов интенсивности, называемых главными. Число m даёт так называемый порядок главного максимума. Максимум нулевого порядка только один, максимумов первого, второго и т.д. порядков бывает по два.

Возведя (5.3) в квадрат, получим, что интенсивность главных максимумов Imах пропорциональна интенсивности Iφ, создаваемой в направленииφ одной щелью:

Imах=N2*Iφ                                                               (5.4)

Кроме минимумов, определяемых условием (5.1), в промежутках между соседними главными максимумами имеется по (N-1)-му добавочному минимуму. Эти минимумы возникают в тех направлениях, для которых колебания от отдельных щелей взаимно погашают друг друга. Направления добавочных минимумов определяются условием:

dsinφk'λ/N                                                             (5.5)

(k'=1,2,…,N-1,N+1,…,2N-1,2N+1,…)

k' принимает все целочисленные значения, кроме 0, N, 2N…, т.е. кроме тех, при которых условие (5.5) переходит в (5.2).

Докажем справедливость этого условия на примерах N=5 (N нечётное) и N=6 (N чётное). Если N=5 определяемая (5.5) разность фаз для соседних щелей равна

δ=2πk'/5        (k'=1,2,3,4,6,7…).

На рис.22 показано взаимное расположение векторов амплитуды колебаний от всех пяти щелей, получающееся при различныхk' (начала векторов совмещены водной точке.)

Рис.22

Очевидно, что во всех изображённых на рисунке случаях сумма векторов равна нулю (если начало каждого следующего вектора поместить в конец предыдущего, они образуют замкнутую фигуру - пятиугольник).

Сумма векторов в этом случае, как легко видеть, также равна нулю. Аналогичный результат получается при любом числе щелей N.

Между дополнительными минимумами располагаются слабые вторичные максимумы. Число таких максимумов, приходящееся на промежуток между соседними главными максимумами, равно N-2. Соответствующий расчёт даёт, что интенсивность вторичных максимумов не превышает 1/23 интенсивности ближайшего главного максимума.

Таким образом, дифракционная картина, получающаяся от решётки, имеет вид, показанный на рис.23 (рисунок выполнен для N=4 и d/b=3). Пунктирная кривая, проходящая через вершины главных максимумов, изображает интенсивность от одной щели, умноженную на N2см.формулу (5.4)]. При взятом на рисунке отношении периода решётки к ширине щели (d/b=3) главные максимумы 3-го, 6-го и т.д. порядков приходятся на минимумы интенсивности от одной щели, вследствие

Рис.23

чего эти максимумы пропадают. Вообще из формул (5.1) и (5.2) вытекает, что главный максимум m-го порядка придётся наk-й минимум от одной щели, если будет выполнено равенство: m/d=k/b, или m/k=d/b. Это возможно, если d/b равно отношению двух целых чисел r и s ( практический интерес представляет случай, когда эти числа невелики). Тогда главный максимум r-го порядка наложится на s-й минимум от одной щели, максимум 2r-го порядка - на 2s-й минимум и т.д., в результате чего максимумы порядков 2r, 3r и т.д. будут отсутствовать.

Количество наблюдающихся главных максимумов определяется отношением периода решётки d к длине волны λ. Модуль sinφ не может превысить единицу. Поэтому из (5.2) вытекает, что

m≤d/λ                                                                 (5.6)

Найдём угловую ширину центрального нулевого максимума. Положение примыкающих к нему дополнительных минимумов определяется условиемсм.5.5]: d*sinφ=λ/N (рис.23). Следовательно, этим минимумам соответствуют значения,φ=±аrсsin(λ/N*d) откуда угловая ширина максимума

δφ0=2аrсsinλ/Nd≈2λ/Nd                                                (5.7)

(при больших N величина λ/Nd значительно меньше единицы).

Положение дополнительных минимумов, примыкающих к главному максимуму    m-го порядка, определяется условием: d=(m±1/N)*λ. Отсюда для угловой ширины m-го максимума получается выражение:

δφm=аrсsin(m+1/N)λ/d-аrсsin(m-1/N)λ/d                         (5.8)

Обозначив mλ/d=х, а λ/Nd=Δх, формулу (5.8) можно записать следующим образом:

δφm=аrсsin(х+Δх)-аrсsin(х-Δх)                               (5.9)

При большом числе щелей Δх=λ/Nd будет очень мало. Поэтому можно положить аrсsin(х±Δх)≈аrсsinх±(аrсsinх)Δх. Подстановка этих значений в формулу (5.9) даёт для δφm приближённое значение:

δφm=2(аrсsinх)Δх=2Δх/√(1-х2)=(1/√1-m2(λ/d)2])*2λ/Nd      (5.10)

При m=0 эта формула переходит в (5.7).

Произведение Nd даёт длину дифракционной решётки. Следовательно, угловая ширина главных максимумов обратно пропорциональна длине решётки. С увеличением порядка максимума m возрастает δφm.

Положение главных максимумов зависит от длины волны λ. Поэтому при пропускании через решётку белого света все максимумы, кроме центрального, разложатся в спектр, фиолетовый конец которого обращён к центру дифракционной картины, красный - наружу. Таким образом, дифракционная решётка может быть использована как спектральный прибор. Заметим, что в то время как стеклянная призма сильнее всего отклоняет фиолетовые лучи, дифракционная решётка, напротив, сильнее отклоняет красные лучи. На рис.91 показаны схематически спектры разных порядков, даваемые решёткой при пропускании через неё белого света. В центре лежит узкий максимум нулевого порядка; у него окрашены только краяδφm зависит от λ, см. формулу (5.7)]. По обе стороны от центрального максимума расположены два спектра 1-го порядка, затем два спектра второго порядка и т.д. Положение красного конца спектра и фиолетового конца спектра (m+1)-го порядка определяются соотношениями:

sinφкр=m(0,76/d) , sinφфиол=(m+1)*(0,40/d)

где d нужно брать в микронах.

Рис.24

при условии, что 0,76m>0,40(m+1), спектры m-го и (m+1)-го порядков частично перекрываются. Из неравенства получается m>10/9. Следовательно, частичное перекрывание начинается со спектров 2-го и 3-го порядков (см. рис.24, на котором для наглядности спектры разных порядков смещены друг относительно друга по вертикали).

Основными характеристиками любого спектрального прибора Являются его дисперсия и разрешающая сила. Дисперсия определяет угловое или линейное расстояние меду двумя спектральными линиями, отличающимися по длине волны на 1А0. Разрешающая сила определяет минимальную разность длин волн δλ, при которой две линии воспринимаются на спектре раздельно.

Угловой дисперсией называется величина:

D=δφ/δλ                                                       (5.11)

где δφ - угловое расстояние между спектральными линиями, отличающимися по длине волны на δλ.

Чтобы найти угловую дисперсию дифракционной решётки, продифференцируем условие (5.2) главного максимума слева поφ, а справа по λ. Опуская знак минус, получим:

dсоsφδφ=mδλ,

откуда,

D=δφ/δλ=m/dсоsφ                                          (5.12)

В пределах небольших углов соsφ≈1 и

D≈m/d                                                      (5.13)

Из полученного выражения следует, что угловая дисперсия обратно пропорциональна периоду решётки d. Чем выше порядок спектра, тем больше дисперсия.

Линейной дисперсией называют величину:

Dлин=δl/δλ

где δλ - линейное расстояние на экране или на фотопластинке между спектральными линиями, отличающиися по длине δλ.

Рис.25

Из рис.25 видно, что при небольшихφ имеем δl≈fδφ, где f - фокусное расстояние линзы, собирающей дифрагирующие лучи на экране. Следовательно, линейная дисперсия может быть выражена через угловую дисперсию D:

Dлин=fD

Для дифракционной решётки (при небольшихφ)

Dлин=fm/d                                                      (5.14)

Возможность разрешения (т.е. раздельного восприятия) двух близких спектральных линий зависит не только от расстояния между ними (которое определяется дисперсией прибора), но также и от ширины спектрального максимума. На рис.93 показана результирующая интенсивность (сплошные кривые), наблюдающаяся при наложении двух близких максимумов (пунктирные кривые). В случаеа оба максимума воспринимаются как один. В случаеб между максимумами лежит минимум. Согласно критерию, предложенному Рэлеем, спектральные линии считаются полностью разрешёнными, если середина одного максимума совпадает с краем другого (рис.26.б). В этом случае минимум между линиями составляет около 80% от максимумов. Такое взаимное расположение максимумов получается при определённом (для данного прибора) значения δλ.

Рис.26

Разрешающей силой спектрального прибора называют безразмерную величину

R=λ/δλ                                                               (5.15)

Найдём разрешающую силу дифракционной решётки. Положение середины m-го максимума для длны волны λ1 определяется условием:

dsinφmах=mλ1

Края m-го максимума для длины волны λ2 расположены под углами, удовлетворяющими соотношению:

dsinφmах=(m±1/N)λ2

Середина максимума для длины волны (λ+δλ) наложится на край максимума для длины волны λ в том случае, если

m(λ+δλ)=(m+1/N)λ

откуда

mδλ=λ/N

Решая это соотношение относительно λ/δλ, находим

R=mN                                                         (5.16)

По формуле (5.12) для периода d=1мк (104А0) в спектре первого порядка (m=1) получается значение дисперсии, равное 10-4рад/А0. Пир фокусном расстоянии прибора f=2м линейная дисперсия составляет 0,2мм/А0. Ширина видимого спектра 1-го порядка достигает в этом случае более 700мм.




Возможно эти работы будут Вам интересны.

1. Текущий владелец этого элемента: Пользователь компьютерного класса 84TBGFYQ78M39RRMJ.

2. В целях получения от этого экономического и политического эффекта государства в целом и ее резидентами.

3. Для этого диспетчер получает от станций и от машинистов локомотивов необходимые сведения о положении на ста.

4. В условиях ослабления государственной машины вспыхнули тлевшие до этого времени межнациональные конфликты..

5. Сам писатель считал роман своей главной книгой. Жизнь Клима Самгина - это идеологический роман в самом высоком смысле этого слова, раскрывающий насквозь идеологизированную жизнь общества в ХХ веке