.Векторы а1nназывают линейно зависимыми если существует такой набор коэффициентов α1αnчто α11αnn=0.

Работа добавлена: 2018-07-04






Билет№1

ДОК.Если α1=…=αn=0, то, очевидно, α1a1+…+αnan=0. Имея это в виду, можем сказать так: векторыa1,…,anлинейно независимы, если из равенства α1a1+…+αnan=0 вытекает, что все коэффициенты равны 0.

Т.Для того чтобы векторы были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы один из них являлся линейной комбинацией остальных.

ДОК.НЕОБХОДИМОСТЬ: Пусть векторыa1,…,anлинейно зависимы. Согласноопрслева есть хотя бы один ненулевой коэффициент, напримерα1.Оставив первое слагаемое в левой части равенства, перенесем остальные в правую часть.Разделив полученное равенство на α1,получим:, т.е. представление вектораa1 в виде линейной комбинации остальных векторов а2,…,an. ДОСТАТОЧНОСТЬ: Пусть, например, первый вектор а1 можно представить в виде линейной комбинации остальных: . Затем получим: , т.е. линейную комбинацию векторов а1,…,anс коэффициентами α1=1, , равную нулевому вектору. В этой линейной комбинации не все коэффициенты равны 0, следовательно векторы линейно зависимы.

(Координатная форма.)

Уравнение системы называют алгебраическими потому, что левая часть каджого из них есть многочлен отn переменныхx1,…,xn,а линейными потому что многочлены имеют первую степень. a11, a12, …, amn — коэффициенты системы — и b1, b2, … bm — свободные члены — предполагаются известными. Индексы коэффициентов (aij) системы обозначают номера уравнения (i) и неизвестного (j), при котором стоит этот коэффициент, соответственно.

Решением СЛАУ называются значенияx1,…,xn,при подстановке которых каждое уравнение системы превращается в тождество. СЛАУ называется совместной если она имеет какие-л. решения. В обратном случае ее называют несовместной. Однордная СЛАУ всегда совместна.

(матричная форма)

(Решение СЛАУ можно трактовать в виде  линейной комбинации столбцов)

x1a1+…+xnan=b (векторная запись)

ТКронекера-Капелли (критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений): Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы

ДОКНЕОБХОДИМОСТЬ:Отметим что ранг матрицы А СЛАУAx=b не превосходит ранг расширенной матрицы (A|b) поэтому нам достаточно доказать что ранг этой матрицы не меньше ранга расширенной. Если система совместна,то записывая ее в векторной форме, делаем вывод, что значение неизвстныхx1,…,xn  такие, чтоx1a1+…+xnan=b, гдеai – столбцы матрицы А,b – столбец свободных членов. Следовательно, столбец b является линейной комбинацией столбцов  матрицы A. Выберем какой-л. Базисный минор матрицы А.

Согласно теореме о базисном миноре, базисные столбцы линейно зависимы, в то время как для каждогоj>k существуют такие

Поэтому столбец :

Является линейной комбинацией базисных столбцов матрицы А. => М явл. Базисным минором и в расширенной матрице. ПоэтомуRg(A|b)=RgA.

ДОСТАТОЧНОСТЬ:ПустьRg(A|b)=RgA. Возьмем в матрице A базисный минор М(как и выше). Так как rgB = r, то он же и будет базисным минором и матрицы B. Тогда согласно теореме о базисном миноре последний столбец матрицы B будет линейной комбинацией базисных столбцов, то есть столбцов матрицы A. Следовательно, столбец свободных членов системы является линейной комбинацией столбцов матрицы A. Это означает совместность системы.




Возможно эти работы будут Вам интересны.

1. Летний лагерь. Для одних это радость общения с друзьями, познание окружающего мира, для других – горечь непонимания, непризнания, безрадостный месяц, такой короткий миг и в то же время, такой длинный период в жизни ребёнка.

2. Векторы в трёхмерном евклидовом пространстве

3. Определение парных коэффициентов корреляции

4. . преобразование коэффициентов уравнения в случае параллельного переноса.

5. -CS и CM призванных обеспечить следующее: определить необходимый набор знаний и рекомен.

6. Существует 2 способа намыва грунтов: эстакадный и безэстакадный

7. Обновление основных фондов. Существует формы воспроизводства (вос-ва): простое и расширенное.

8. - Существует достаточно большое число фирм что ограничивает контроль каждой над ценой отсутствует взаимная .

9. Ряд таких форм существует достаточно продолжительное время и получил правовое закрепление другие являются.

10. новый средний класс входит такой слой как рабочие гор