.Скалярным произведением двух векторов иb называют число равное произведению их длин на косинус угла между н

Работа добавлена: 2018-07-04






Билет№3

Скалярное произведение векторов можно выразить через ортогональную проекцию на направление. Если вектор а ненулевой, то скалярное произведениеabполучается перемножением длины вектора и ортогональной проекции вектораb на направление вектора а:ab=|a|прab. Аналогично приb ненулевом.Ab=|b|прba

Если угол между двумя ненулевыми векторами прямой, то такие векторы называют ортоганальными. Если хотя бы один из векторов нулевой их скалярное произведение равно 0.

Свойства скалярного произведения: 1)свойство коммутативности:ab=ba 2)свойство ассоциативности:(λа)b= λ(ab) 3)Свойство дистрибутивности:(a+b)c=ac+bc 4)Свойство скалярного квадратаa2>=0, причемa2=0 тогда и только тогда, когда а=0

Вывод формулы вычисления скалярного произведения в ортонормированном базисе.

Пусть векторыa иb изV3 заданы своими координатами в ортонормированном базисеijk

Окончательный ответ получен с учетом того, что ортонормированность базисаijkозначает выполнение равенств:ij=ik=jk=0,i2=j2=k2=1. Таким образомab=xaxb+yayb+zazb, т.е. скалярное произведение векторов в ортонормированном базисе равно сумме попарных произведений одноименных координат.

(Координатная форма.)

Уравнение системы называют алгебраическими потому, что левая часть каджого из них есть многочлен отn переменныхx1,…,xn,а линейными потому что многочлены имеют первую степень. a11, a12, …, amn — коэффициенты системы — и b1, b2, … bm — свободные члены — предполагаются известными. Индексы коэффициентов (aij) системы обозначают номера уравнения (i) и неизвестного (j), при котором стоит этот коэффициент, соответственно.

Решением СЛАУ называются значенияx1,…,xn,при подстановке которых каждое уравнение системы превращается в тождество. СЛАУ называется совместной если она имеет какие-л. решения. В обратном случае ее называют несовместной. Однордная СЛАУ всегда совместна.

(матричная форма)

(Решение СЛАУ можно трактовать в виде  линейной комбинации столбцов)

x1a1+…+xnan=b (векторная запись)

ТКронекера-Капелли (критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений): Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы

ДОКНЕОБХОДИМОСТЬ:Отметим что ранг матрицы А СЛАУAx=b не превосходит ранг расширенной матрицы (A|b) поэтому нам достаточно доказать что ранг этой матрицы не меньше ранга расширенной. Если система совместна,то записывая ее в векторной форме, делаем вывод, что значение неизвстныхx1,…,xn  такие, чтоx1a1+…+xnan=b, гдеai – столбцы матрицы А,b – столбец свободных членов. Следовательно, столбец b является линейной комбинацией столбцов  матрицы A. Выберем какой-л. Базисный минор матрицы А.

Согласно теореме о базисном миноре, базисные столбцы линейно зависимы, в то время как для каждогоj>k существуют такие

Поэтому столбец :

        Является линейной комбинацией             базисных столбцов матрицы А. => М явл. Базисным минором и в расширенной матрице. ПоэтомуRg(A|b)=RgA.

          ДОСТАТОЧНОСТЬ:ПустьRg(A|b)=RgA. Возьмем в матрице A базисный минор М(как и выше). Так как rgB = r, то он же и будет базисным минором и матрицы B. Тогда согласно теореме о базисном миноре последний столбец матрицы B будет линейной комбинацией базисных столбцов, то есть столбцов матрицы A. Следовательно, столбец свободных членов системы является линейной комбинацией столбцов матрицы A. Это означает совместность системы.




Возможно эти работы будут Вам интересны.

1. .K. Любую упорядоченную пару неколлинеарных векторов в пространствеV2 называют базисом вV2.

2. .Базис называют ортогональным если он состоит из векторов лежащих на взаимно перпендикулярных прямых.

3. Задачи развития в юношеском возрасте могут быть сгруппированы вокруг двух векторов: формирования социальной зрелости и самосознания.

4. тема двух равных по модулю разноименных точечных зарядов расстояние между которыми значительно меньше р.

5. -го рода: i=12s дифференциальные уравнения второго порядка s число степеней свободы системы число неза.

6. Взаимное расположение двух плоскостей, прямой и плоскости, двух прямых в пространств

7.  Опухоли мосто-мозжечкового угла

8. Площадь каждой такой трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту

9. Правовое отношение разновидность правовых отношений между гражданином и государством между федеральны

10. - раздел Механика Теоретическая механика Работа Силы В Общем Случае Численно Равна Произведению МоДуля Силы .