Математические понятия. Методика их изучения в средней школе

Работа добавлена: 2018-07-06






4. Математические понятия. Методика их изучения в средней школе.

Понятие-форма мышленияЮ отражающая общие и существенные свойства и отношения вещей и явлений математического мира.

Математическое понятие-отражение в мышлении отличительных свойств форм и количественных отношений действительного мира.

Признак-всё то, с помощью чего объекты можно распознать, описать то, в чём объекты могут быть сходными или различными.(существенные-каждый из которых необходим, а вместе они были бы достаточны для отличия изучаемого объекта от других; несущественные)

Первичноесодержание(множество всех существенных признаков объекта, отражённых в этом понятии) раскрывается в определении, аобъём(множество всех объектов, к которым применимо данное понятие) понятия раскрывается через классификацию.

ПР.1( по Погорелову): Треугольником называется фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой (вершин треугольника), и трёх отрезков, попарно соединяющих эти три точки (сторон треугольника). Треугольник с вершинамиA,B,C и сторонамиAB,AC,BC обозначают так ∆ABC.

В первичноесодержание входят:Термин – треугольник;Символ - ∆ABC;Сопутствующая терминология : три точки – вершины треугольника,три отрезка – стороны треугольника. Определимобъём (через классификацию). Проведем классификацию треугольника.1 )По величине углов. Есть прямой угол? –да(прямоуг); нет,есть тупой угол?-да(тупоуг); нет(остроуг). 2)По числу равных сторон.Все стороны равны? –да(равностор); нет, 2 стороны равны?-да(равнобедр);нет(разностор).

2. Уравнение вида  наз квадратным. В первичноесодержание входят:Термин – квадратное уравнение;Символика -  ;Сопутствующая терминология – коэффициентыa,b,c.Объём: 1)а=1?-да(приведённое);нет(неприведённое).2) в или с=0?-да(неполное); нет(ур общего вида).

Существует закон обратного отношения между объёмом и содержанием понятия. (Уменьшая содержание, увеличиваем объём понятия, и наоборот). Рассмотрим на примере.Сравним содержание и объём двух понятий “Равносторонний треугольник” и “Равнобедренный треугольник”. Если имеем определение равнобедренного тр. и добавляем к нему равенство всех сторон и углов, то мы увеличиваем содержание и уменьшаем объём, получив равносторонний треугольник. Если имеем определение равностороннего треугольника, уменьшаем содержание, потребовав равенство двух сторон и

двух углов при третьей стороне, увеличиваем при этом объём, получив равнобедренный треугольник.

Родовое и видовое понятия.

Примеры определений

Явные (родовидовые)

1. Описательные.

(В определении видовые отличия описаны словами)

Натуральное число называют простым, если оно имеет только два делителя:единицу исамо эточисло. (Два видовых отличия соединены союзом “и”).

2. Конструктивны.

(В определении указан способ получения)

Двугранным углом называется фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а, не принадлежащими одной плоскости (Атанасян, 10-11 кл).

3. Отриц опр. описаны св-ва, кот у объекта нет)

Две прямые называются параллельными, если онине пересекаются.

4. Индуктивные.

(из уже имеющихся)

Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числаd, называют арифметической прогрессией, а числоd – разностью арифметической прогрессии.

5. условные соглашения

Определение степени с натуральным показателем

6. Остен-е опр.

(д-я через показ модели объекта)

Геометрические тела в 5-6 классах

Неявные (косвенные).

1. Через матема абстракцию.

(Опр не гарант сущ-е объекта)

Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

2. Через систему аксиом.

Опр точки, прямой, пл-ти – простые понятия, опирающ на сист аксиом.

1. Понятия рода и вида относительны (одно и тоже понятие может являться родовым для одного и видовым для другого). Например, параллелограмм – видовое понятие для четырёхугольника,родовое понятие для ромба.Ромб – вид для параллелограмма, род для квадрата.2. Для одного и того же понятия можно указать несколько родовых понятий. Например, для прямоугольника родовыми понятиями могут быть четырёхугольник, параллелограмм, трапеция. Но параллелограмм является ближайшим родовым понятием. 3. Видовое понятие обладает всеми свойствами родового, а также своими собственными.4. Для того, чтобы определить понятие, нужно: 1)Выбрать ближайший род; 2)Наложить видовые отличия; 3)Дать название полученному понятию. Определение = ближайший род + видовые отличия

ПР (Трапецией называется четырёхугольник, у которого только две противоположные стороны параллельны)1)Термин – трапеция;2)Ближайший род – параллелограмм3)Видовые отличия – 2 вид. отличия:толькодве стороны параллельны. 4)Описательное определение.5)Связь союзом “и”.

Ошибки в определениях.

  1. Ошибка в употреблении математических терминов (неправильное указание ближайшего рода). Например. Неверное определение:  медианой треугольника, проведённой из данной вершины, называетсяпрямая(верно отрезок), соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны треугольника.
  2. Ошибка слишком широкого определения (чаще всего встречается, если видовые отличия соединены союзом “и”; исправляются с помощью контрпримера)
  3. Ошибка слишком узкого определения (чаще всего видовые отличия соединены союзом “или”; исправляются с помощью примера).
  4. Тавтология (повтор).Понятие определяется через другие, которые в свою очередь определяются через него.Пример. Ошибка: Окружность – это граница круга, а круг – часть плоскости, ограниченной окружностью. Исправление. Окружность – фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудалённых от данной точки. Круг – фигура, состоящая из всех точек плоскости, расстояние от которых до данной точки не больше данного.
  5. Избыточное определение (часть свойств можно доказать; в школе используются в методических целях).Пример ошибочного определения. Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны иравны. (Равенство можно доказать).

Два метода введения новых понятий.

Изучение определений подразделяется на три этапа: введение, усвоение, закрепление.

Схема примененияабстрактно-дедуктивныного метода.1)Формулируется понятие, даётся определение.2)Приведение примеров и контр-примеров.3)Решение задач.

Схема примененияконкретно-индуктивного метода.1)Актуализация ЗУН необходимых для формулировки определения (повторение).Подготовка к восприятию нового понятия, мотивация.2) Формулируется понятие, даётся определение.3) Приведение примеров и контр-примеров.4) Решение задач.

Особенности системы задач на усвоение понятия и его определения.

1. Наличие задач, связанных с показом практической значимости нового понятия или с его значимостью для дальнейшего продвижения в изучении математики.2на актуализацию зун, необходимых при формировании данного понятия.3на выделение существенных признаков понятия.4 на распознавание формируемого понятия.5 на усвоение текста определения понятия.6 на использование символики, связанной с понятием.7на установление свойств понятия.8на применение понятия.




Возможно эти работы будут Вам интересны.

1. Логарифм ф-ция, её основные свойства. Разложение в степенной ряд. Методика изучения свойств логарифм ф-ции в школе.

2. Показател. ф-ция. Её осн. св-ва. Разл. в степенн ряд. Методика изуч. св-в пок.ф-ции в школе

3. -х. культур и коррелирующих со средней многолетней урожайностью акад.

4. Особенности проектирования энергоэффективных жилых домов средней этажности

5. Умышленное причинение тяжкой, средней и легкой степени вреда здоровью.

6. 1. общая оценка хозяйства республик средней Азии. Средняя Азия это Таджикистан, Киргизия. Казахстан, Узбекистан, Туркменистан

7. Текст как объект изучения лингвистики

8. . Методы и источники изучения истории; понятие и классификация исторического источника.

9. Микропроцессоры После изучения главы вы должны знать: назначение микропроцессоров (МП) и их основные функции,

10. -правовые основы местного самоуправления В результате изучения данной главы студент должен: .