Теорема Теллегена. Баланс мощности

Работа добавлена: 2018-07-06






6.Теорема Теллегена. Баланс мощности

Теорема Теллегена является одной из наиболее общих теорем теории электрических цепей. Для согласованных направлений напряжений и токов ветвей теорема Теллегена гласит:сумма произведений напряженийuk и токовik всех ветвей графа, удовлетворяющих законам Кирхгофа, равна нулю.

теорема Теллегена следует непосредственно из законов Кирхгофа, то она справедлива для любых электрических цепей: линейных и нелинейных, активных и пассивных; цепей, параметры которых изменяются во времени (параметрических цепей). В общем случае эта теорема справедлива и для случая попарных произведений  и  разных ветвей, если для них выполняются законы Кирхгофа.

Из теоремы Теллегена вытекает ряд следствий, важнейшим из которых является баланс мощности. Действительно, произведение  представляет собой мгновенную мощность k-ветви, поэтому в соответствии с формулой алгебраическая сумма мощностей всех ветвей цепи равняется нулю. Если выделить ветви с независимыми источниками, то баланс мощности можно сформулировать следующим образом: алгебраическая сумма мощностей, отдаваемых независимыми источниками, равняется алгебраической сумме мощностей, потребляемых остальными ветвями электрической цепи.

9.Метод контурних струмів.

Метод базується на законах Кірхгофа. При аналізі кола вважають, що в кожному незалежному контурі протікає свій контурний струм. Рівняння для контурних струмів складають за другим законом Кірхгофа. Кількість рівнянь дорівнює кількості незалежних контурів, тобто метод контурних струмів більш економічний при обчислювальній роботі. На  Рис.25 зображено коло із двома незалежними контурами. - струми у вітках кола,  - контурні струми.

За другим законом Кірхгофа:

Виразити струми у вітках через контурні струми:

Очевидно, струми у зовнішніх вітках дорівнюють контурним струмам: . У внутрішніх вітках  струми дорівнюють різниці контурних струмів:

або:

Введем позначення:

- власний опір першого контура, це сума опорів, по яким протікає контурний струм першого контура (перший контурний резистанс).

- власний опір другого контура, це сума опорів, по яким протікає контурний струм другого контура (другий контурний резистанс).

- взаємний  опір між першим та другим контурами, по ньому протікають перший і другий контурні струми (взаємний резистанс).

- контурна ЕРС першого контура.

- контурна ЕРС другого контура.

Увага!  ЕРС, які співпадають із вибраним напрямом контурного струму входять у контурну ЕРС зі знаком «плюс». Рекомендується  контурні струми направляти однаково, наприклад, за годинниковою стрілкою, тоді в рівняннях всі взаємні опори приймаються зі знаком мінус.

Для даного кола рівняння за методом контурних струмів мають такий загальний вигляд:

Аналогічно записується система рівнянь для триконтурної схеми:

або у вигляді матриці:

Розв’язуючи систему рівнянь за допомогою визначників одержують  контурні струми:

Контурні струми можна виразити через алгебраїчні додатки:

або

Де - головний визначник системи,  – алгебраїчні додатки. У загальному вигляді для n - контурів, будь-який контурний струм:

де головний визначник системи: У складній схемі електричного кола кількість незалежних контурів  просто визначається за допомогою дерева cхеми та віток зв’язку.

План розв’язання електричного кола  методом контурних струмів.

1. Визначити кількість незалежних контурів Скласти рівняння за методом кон-турних струмів. Кількість рівнянь складених за методом контурних струмів до-рівнює кількості незалежних контурів. Бажано напрями контурних струмів за-давати однаково (наприклад, за годинниковою стрілкою).

Увага! Струми контурів із джерелами струмів вважаються відомими і для них рівняння не складається (зайва інформація).

2. Визначити власні та взаємні опори контурів і контурні ЕРС.

3. Будь-яким розрахунковим методом розвязати систему рівнянь і визначити контурні струми.

4. За знайденими контурними струмами визначити струми у вітках схеми.

10.Метод вузлових потенціалів.

Метод базується на першому за-коні Кірхгофа і законі Ома.

Розглянемо коло Рис.27.

Кількість рівнянь , що складаються за першим законом Кірхгофа менше на одиницю від кількості вузлів (В-1). Один із вузлів кола можна заземлити, розподіл струмів у колі при цьому не зміниться.

У колі три вузли (В=3). Заземлений вузол 3, тобто вважаєм його потенціал Задаємось напрямками струмів у вітках, як показано на рисунку.  Записуєм перший закон Кірхгофа для для вузлів 1, 2.

Струми у вітках визначаються за законом Ома:

де:- провідності відповідних віток. Підставляєм вирази для струмів у початкові рівняння:

Зводим подібні члени.

Відомі члени рівнянь переносим в праву сторону:

Введем позначення:  - власна провідність першого вузла (сума провідностей, що підходять до першого вузла),  - власна провідність другого вузла (сума про-відностей, що підходять до другого вузла),  - взаємна вузлова провідність між першим і другим вузлами.    - Вузловий струм першого вузла (алгебраїчна сума джерел струмів та добутків ЕРС на провідності віток (струми джерел ЕРС), що підходять до даного вузла),  - вузловий струм другого вузла.

Увага! Правило знаків.  Якщо джерело струму  або ЕРС направлені до вузла то струм джерела струму і добуток ЕРС на провідність беруться зі знаком «+». Власні провідності мають знак «+», взаємні – знак «-».

У загальному вигляді рівняння для двох вузлів записуються так:

Аналогічно для трьох вузлів:

План розв’язання електричного кола  методом вузлових потенціалів.

1. Прийняти за нуль потенціал одного із вузлів (заземлити).

2. Скласти рівняння за методом вузлових потенціалів. Кількість рівнянь дорів-нює кількості вузлів, що залишилися.

3. Будь-яким розрахунковим методом розв’язати систему рівнянь і визначити потенціали вузлів.

8.Метод рівнянь Кірхгофа.

В задачах аналізу для розрахунку кола  потрібно визначити струми у вітках  за відомими  параметрами ЕРС , резисторів і конфігурації кола. Для елек-тричного кола із кількістю вузлів В і віток Вт необхідно скласти кількість рів-нянь, щоб визначити всі невідомі струми. У вітках із джерелами струму ВтJструми відомі, відповідно і зменшиться кількість рівнянь складених за другим законом Кірхгофа для незалежних контурів. Кількість рівнянь за першим зако-ном Кірхгофа : Кількість рівнянь складених за другим законом:

Наприклад, для кола Рис.20  кількість вузлів В=3, віток Вт= 5, віток зі струмом ВтJ=1.

Загальна кількість рівнянь:

Значно складніші  зворотні задачі синтезу, в яких, наприклад, відомі стру-ми і напруги на деяких ділянках кола, а потрібно знайти конфігурацію кола і вибрати його елементи.

План розв’язання електричного кола  методом рівнянь Кірхгофа.

1 .Визначити кількість вузлів В, довільно вибрати напрями струму у вітках і скластиn1= (В - 1)рівнянь за першим законом Кірхгофа.

2. Визначити кількість незалежних контурів та вибрати довільно напрямок їх обходу, бажано однаково, (за годинниковою стрілкою). Скласти для кожного незалежного контура рівняння за другим законом Кірхгофаn2= Вт - (В - 1) - ВтJ. Для контура, в який входить вітка із джерелом струму, рівняння не складається  (зайва інформація).

3. Розв’язок системи рівнянь дає невідомі струми. Якщо якийсь із струмів має  знак «мінус» це означає, що його істинний напрям протилежний вибраному.

4. Перевірити правильність розв’язку за балансом потужностей.

Як ясно із першого закону Кірхгофа вигляд рівнянь залежить не від еле-ментів віток, а від геометричної структури самих з’єднань. Аналогічний смисл мають рівняння і другого закону Кірхгофа. Для характеристики геометричної структури схеми кола можна користуватися топологічним графом, частини якого називають ребрами , що зображають вітки кола, а  точки їх з’єднання - вершини, зображають вузли кола.  На  Рис.23 зображений ненаправлений (нео-рієнтований) граф для кола Рис.1,б.

Дерево графа - сукупність віток, що з’єднують всі вузли, але  не створюють жодного контура. На  Рис.24,а, б, в показані суцільними лініями три де-рева того ж самого графа.

 Хорда (вітка зв’язку) - будь яка вітка, що не вхо-дить у дерево, на рисунку вони показані пунктир-ними лініями.

Проведення однієї вітки зв’язку створює один  незалежний контур. Очевидно, кількість віток зв’яз-ку дорівнює кількості незалежних контурів.

  Увага! Вітки із джерелами струму  у дерево графа не включаються.

7.Закон Ома.

Струм між двома точками в електричному колі може протікати тільки тоді коли вони мають різні потенціали.

Потенціал - робота по перенесенню заряда із даної точки в точку з нульовим потенціалом. Нульовий потенціал має поверхня Землі, тому й поняття «заземлити» означає прийняти потенціал даної точки за нуль. Потенціал будь-якої точки в електричному колі можна прийняти за нульовий, потенціали всіх інших точок відповідно зміняться, але різниця потенціалів точок залишиться без зміни.

     Різниця потенціалів двох точок це напруга між цими точками. На Рис.9,а показана ідеальна ЕРС Е. Приймемо, що потенціал точки б дорівнює нулю, «заземлимо», , потенціал точки а вищий потенціалу точки б на величину  ЕРС Е,  . Напруга    між точками а, б:

Тобто, якщо проходити через ЕРС  від «-» до «+» то потенціал зростає на величину ЕРС, напруга буде додатня  у випадку проходження через  ЕРС у напрямку  від  «+» до  «-» ( проти вістря стрілки ). Такі ж міркування застосуємо для опору зі струмом  Рис.9,б.  Приймемо потенціал точки б рівним нулю,  . Очевидно, що струм тече від точки з вищим  потенціалом до точки з нижчим потенціалом, аналогічно, як і вода  тече від верхнього рівня до нижнього. Тому потенціал точки а вищий від потенціалу точки б на величину падіння напруги IR  на опорі R,  . Напруга  між точками а,б:    Висновок: на ділянці з опором потенціал зростає на IR. у напрямку  проти струму, а напруга додатня у напрямку співпадаючому зі струмом. Очевидно, що для розглянутих випадків напруга  між точками б, а  буде від’єм-на.На Рис.10  показана частина електричного кола, з  ЕРС (джерелами нап-руги) та опорами, між точками  а, б, по якій протікає струм І.

Потенціал точки а відносно потенціалу точки б (напрямок проти струму):

або звідки:

  Це запис закону Ома , де струм  вітки між точками а, б виражається за по-тенціалами точок чи за напругою між точками і параметрами вітки. Для визначення струму у вітці за законом  Ома при відомих параметрах потрібно:

- Задатись довільним напрямком струму у вітці, від точки а до точки б,

- в чисельнику записати напругу , ЕРС, які спів-падають із вибраним напрямком струму записуються зі знаком «+», не-співпадаючі - зі знаком  «-»,

- в знаменнику записується сума опорів вітки.

-  якщо в результаті розрахунків струм буде від’ємним, це означає, що на-прям реального струму протилежний вибраному.

У загальному вигляді закон Ома для вітки записується так:

Якщо електричне коло складається тільки з одного контура , отримаємо закон Ома для замкненого кола з одним струмом:




Возможно эти работы будут Вам интересны.

1. .Полный резерв мощности Резерв активной мощности равный разности между располагаемой мощностью энергосист

2. Материальный баланс по стадиям процесса

3. Потужність у комплексный формы. Баланс комплексних потужностей

4. Многоугольники. Площадь многоуг-ника. Теорема существования и единственности. Равновеликость и равносоставленность

5. а и яиц 42. Резко отрицательный водный баланс и преобладание незакрепленных песков в пустынны

6. Основные средства и производственные мощности в энергетике

7. Постоянное магнитное поле в вакууме. Закон Био-Саварра-Лапласа и теорема о циркуляции. Их применение для расчёта магнитных полей

8. Повестка дня 21 содержит следующие положения: исключите неверный ответ учитывается баланс взаимоотношений .

9. .Скважина для забора грунтовых вод количество которых зависит от мощности водоносного пласта .

10. .Задача До какой величины можно увеличивать выработку реактивной мощности синхронны