Метод дихотомии. Метод простой итерации

Работа добавлена: 2018-07-06






16. Метод дихотомии.

Пусть  и известно, что уравнение  имеет единственное решение Полагаем   т.е.  -середина .

Вычисляем  Если  то  и на этом вычисления заканчиваются. Если  , то знак  совпадает либо со знаком  либо , т.к. . Т.о. на концах одного из двух отрезков  ф-ия  имеет одинаковые знаки, а на концах другого противоположные. Сохраняем отрезок, на концах которого  имеет противоположные знаки, а другой отрезок, как не содержащий корень  отбрасываем. Оставленный отрезок обозначим через , где

Очевидно, что  и  Поэтому

Искомый корень  находится теперь на вдвое меньшем отрезке .

Далее поступаем аналогично. Допустим что уже найден некоторый отрезок  на концах которого ф-ия  имеет противоположные знаки и, следовательно, он содержит искомый корень  Находим середину отрезка

Вычисляем  Если  то  и вычисления на этом заканчиваются. Если  то полагаем

17. Метод простой итерации.

Для использования этого метода исходное нелинейное уравнение записывают в виде:

Пусть известно начальное приближение корня  Подставляя это значение в правую часть уравнения (4), получаем новое приближение  Далее подставляя каждый раз новое значение корня в (4), получаем последовательность значений

Итерационный процесс прекращается, если результаты двух последовательных итераций близки:

. Достаточным условием сходимости метода простой итерации является условие

Здесь  - начальное приближение корня, а в дальнейшем – результат предыдущей итерации, - значение корня после каждой итерации.

В данном алгоритме предполагается что итерационный процесс сходится. Если такой уверенности нет, то необходимо ограничить число итераций и внести для них счетчик.

18. Метод Ньютона (метод касательных)

Пусть мы имеем отрезок [a,b] на котором ф-ия F(x) меняет знак. Для определенности примем  F(a)>0 , F(b)<0 . В данном методе процесс итераций состоит в том, что в качестве приближений к корню уравнения F(x)=0   принимаются значения  точек пересечения касательной с осью абсцисс. Но задавать отрезок необязательно, а достаточно лишь найти некоторое начальное приближение корня

Ур-ние касательной, проведенной к кривой  в точке     :

Отсюда найдем следующее приближение корня  как абсциссу точки пересечения касательной с осью

Аналогично могут быть найдены и следующие приближения как точки пересечения с осью абсцисс касательных, проведенных в точках . Формула для n-го приближения имеет вид:

При этом необходимо, чтобы . Для окончания итерационного процесса может быть использовано условие , или условие близости двух последовательных приближений:

//Из (3) следует, что на каждой итерации объем вычислений в методе ньютона больший, чем в других методах, поскольку приходится находить значение не только ф-ии F(x), но и ее производной. //

Скорость сходимости этого метода значительно выше, чем в других методах.




Возможно эти работы будут Вам интересны.

1. Комбинированный метод.

2. Метод прогонки.

3. Тепловой метод контроля

4. Метод вузлових потенціалів

5. Метод секущих. Численные методы решения ОДУ

6. Геометрический метод решения задач линейного программирования

7. -ориентированной методологии объект класс атрибут метод.

8. . Предмет метод периодизация истории отечественного государства и права.

9. Клинический или описательный метод: а опрос больного диагностическое интервью; .

10. Численный метод расчета трубопровода При большом числе отрезков в сложном трубопров