. Пусть ф-ия комплексной переменной определенная в области и - предельная точка области .

Работа добавлена: 2018-07-06






30(1). Моногенные и голоморфные функции.

Опр.  дифф-ма в точке  в смысле действительного анализа, если  и  дифф-мы в т.  как функции двух переменных.

Опр. 1. Пусть ф-ия  комплексной переменной, определенная в области  и  - предельная точка области . Функция  называетсямоногенной в точке , если существует конечный предел

причем точка

Всякая моног. в т. ф-я непр. в этой т.

Опр 2. Функция, моногенная в каждой точке области , называетсяголоморфной в .

Лемма.  дифф. в точке  в смысле действ. анализа (с.д.а.)  в некоторой окрестности точки

Критерий голоморфности ф-ии в области. Для того, чтобы ф-ия  была голоморфна в , необходимо и достаточно, чтобы

1) ф-ии  и  были дифф-мы в с.д.а. в каждой точке ;

2) всюду в области  выполнялись условия Коши – Римана:

Необходимость. Пустьz– произвольная фиксированная предельная точка изD иf(z) моногенна вz. Тогда

С другой стороны,

Но в силу моногенности функцииf предел не должен зависеть от способа стремления  к нулю. Следовательно,

откуда следуют условия Коши – Римана.

Достаточность. Пусть функцииu(x,y) иv(x,y)дифференцируемы в точке (x,y) и пусть выполняются условия Коши – Римана. Тогда, как известно из действительного анализа,

Кроме того,

Тогда

Из условий Коши – Римана следует:

Разделив это равенство на , получим

т.е. существует производная , и функция моногенна в точкеz. В силу произвольности вы-бора этой точки функцияf голоморфна вD.      ■

Опр.f(z) голоморфна в т. , если существует окр-ть , в которойf моногенна.

Критерий голоморфности = кр. моногенности, выполненному в некоторой окрестности точки .

Примеры. Дифф. в с.д.а. < моноген. < голоморф.

1)  - голоморфна на С.

2)

голоморфна на

3)  - моногенна в нуле, но нигде не голоморфна. Не выполнено усл. Коши – Римана.

4)  - нигде не моногенна.

Опр 3.Изолированной особой точкой (ИОТ) функцииf(z) называется такая точка , у которой существует проколотая окрестность, в которой функция голоморфна, но в самой точке  - не моногенна.

Опр 4. ИОТa функцииf(z) называется:

-устранимой особенностью,если     существует и конечен;

  -полюсом,если

-полюсомn-ого порядка, если

-существенно особой точкой, если  не существует.

Примеры. 1)z=0 - и.о.т.

2)                         - полюсn-ого порядка.

3)

Для а=∞:

- устранимая о.т., если

- полюсn-ого порядка, если

- с.о.т., если

Примеры. 1)  - полином имеет на бесконечности полюсn-ого порядка.

2)  - с.о.т. на бесконечности.

3)

полюсы 1-го порядка

0 – не изолированная особая точка

Можно дать классиф-ию ИОТ через ряды Лорана.

Пусть функцияf(z)голоморфна в кольце

K={r<|z-a|<R}.Тогдаэту функцию можно разложить вряд Лорана

сходящийся в кольцеK. Здесь  - любое из(r,R).

Пусть точкаa – ИОТ функцииf(z).

a – устранимая особенность главная часть ряда Лорана в окрестности точкиа равна нулю;

a – полюсn-ого порядкаглавная часть ряда Лорана содержит конечное число членов;

a – существенная особенностьглавная часть Лорана содержит бесконечно много отличных от нуля членов.

Опр 5.Вычет  функцииf(z)в конечной ИОТa - этокоэффициент её ряда Лорана с номером -1:

где - любой замкнутый спрямляемый контур, содержащий внутри точкуaи лежащий в кольце голоморфности функцииf(z).

Вычет в конечной устранимой особой точке равен нулю (так как все ).

Если  - простой полюс дляf(z), то

Если  - полюс порядкаm дляf(z), то

(Здесь(m-1) – порядок производной).

В существенно особых точках для нахождения вычета ф-ия разлагается в ряд Лорана с центром в      точке      .

Примеры.

Теорема о сумме вычетов.Для голоморфной функцииf(z), имеющей лишь конечное число особых точек  на        полная сумма вычетов равна нулю:

Теорема Коши. ПустьD – ограниченная область с кусочно-гладкой границей дляD. Пустьf – голоморфна вD, за исключением конечного числа и.о.т. , и непрерывна на . Тогда

31(1). Экспонента, её аналит. и геом. св-ва.

Функция  для комплексных чисел  определяется формулой

Следовательно,

Из определения следуют основные свойства функции :

1. Для любых  имеет место рав-во

2. Функция  периодична с чисто мнимым периодом .

3. Функция определена и непрерывна   в  .

4. .

5. Функция принимает все значения, кроме нуля, т.е. уравнение  разрешимо . Если

, то все решения уравнения  даются формулой

Опр. 1. Пусть ф-ия  комплексной переменной, определенная в области  и  - предельная точка области . Функция  называетсямоногенной в точке , если существует конечный предел

причем точка

Всякая моног. в т. ф-я непр. в этой т.

Опр 2. Функция, моногенная в каждой точке области , называетсяголоморфной в .

6.  - голоморфна на С.

7.  не имеет предела на бесконечности.

Показательная функция  голоморфна на   и

периодична, т.е. не имеет предела при . Следовательно, её нельзя продолжить на

непрерывно ни в евклидовой, ни в сферической топологии. Так как                       то отображ-ие   локально однолистно и конформно на . Однако это отображение не однолистно на  в силу периодичности.

Опр. Локально однолистные отображения - это отображения, гомеоморфные в некоторой окрестности точки, т.е. те, для которых из  следует .

Опр. Отображение конформно в точке,если оно локально однолистно в этой точке, сохраняет углы между гладкими кривыми, проходящими через,и обладает свойством постоянства растяжения бесконечно малых дуг с началом в точке.Отображение конформно в области, если оно конформно в каждой точке области.

Области однолистности экспоненты характеризуются тем, что они не содержат пар различных точекz1,z2,для которых .

Примером области однолистности может служить горизонтальная полосапри условии, что .

Используя декартовы координаты в плоскости  и полярные координаты в плоскости

, представим отображение в действительной форме: . Видно, что декартова сетка, образуемая прямымих=const, у=const,переводится экспонентой в полярную сетку

на плоскости . Прямые , переходят в лучи  (рис. 1).

Образом отрезка  при отображении  является дуга окружности .

Горизонтальная полоса  отображается на сектор .

Чтобы построить риманову поверхность - образ плоскости  при отображении,разобьем  на полосы,найдем образ каждой полосы и склеим их надлежащим образом. В силу периодичности образы полос будут идентичны. Так как образами прямых  являются лучи,заполняющие плоскостьс разрезом по положительному лучу, то  - образ полосы -представляет собой плоскость с разрезом .

Расположим образцыполос  на отдельных экземплярахплоскости.Последо-вательно склеив друг с другом все пары полос  и  по прямым , получим плоскость . В той же последовательности склеим их образыпо лучами получим поверхность Римана, не имеющую точек самопересечения и состоящую из счетного числа листов (рис.2). Эта поверхность называется римановой поверхностью логарифмической функции,так как является ее областью определения. Однозначные ветви этой функции, определенные в областях , будем обозначать символами . Они отображают  конформно и однолистно на полосы .

В частности,главная ветвь логарифмареализует однолистное конформное отображение области  на полосу . Полосу , удобно рассматривать как двуугольник с двойной вершиной в точке  и нулевыми углами в этой вершине. Функция  отображает этот двуугольник на сектор , т.е.нулевые граничные углыс вершинами и  преобразует вненулевые граничные углыс вершинами  и .




Возможно эти работы будут Вам интересны.

1. тема закономерностей действующих в определенной области.

2. Органы государственной власти Нижегородской области

3. Строение и функции гипоталамо-гипофизарной области

4. Тема 1. Развитие: формы области факторы принципы и закономерности .

5. КАЗАКОВ Роман Викторович ОСОБЕННОСТИ ГОСУДАРСТВЕННОГО УПРАВЛЕНИЯ В ОБЛАСТИ СПОРТА В КАНАДЕ

6. - это направление исследований в области искусственного интеллекта по созданию вычислительных систем умеющ

7. - это воспаление мягких тканей полости носа в основном в области нижних носовых раковин.

8. Основные направления и результаты деятельности Министерства образования Пензенской области по поддержке развития предпринимательства в профессиональных образовательных организациях

9. Функции, Области видимости, Локальные и глобальные переменные. Классы памяти. Встраиваемые функции

10. Тема «Ожерелье из бисера» Оценить свои возможности глубины и прочности знаний полученных на уроках технологии, умение их применять в области проектной деятельности.