Общее число неизвестных n будет равно сумме числа неизвестных углов поворота узлов nу и их возможных линейны

Работа добавлена: 2018-07-06






Следовательно, при расчете рам за неизвестные следует принимать углы поворотов и линейные смещения узлов заданной системы. Общее число неизвестных n будет равно сумме числа неизвестных углов поворота узлов nу и их возможных линейных перемещений nл , т.е.

.(2.15)

Число неизвестных углов поворота nу равно числу жестких узлов заданной системы. Жестким считается узел, в котором концы, по крайней мере, двух из сходящихся в нем стержней жестко связаны между собой (например, узлы 1, 2, 3, на рис. 2.11, а; узлы 1, 2 на рис. 2.12, a).

Рис. 2.11

Для определения числа линейных неизвестных перемещений заданную систему следует заменить ее шарнирной схемой путем введения полных шарниров во все узлы и опорные закрепления (рис. 2.11, б и рис. 2.12, б). Число неизвестных линейных смещений узлов системы равно числу стержней, которые необходимо ввести в шарнирную схему, чтобы превратить ее в геометрически неизменяемую систему. Следовательно, число независимых линейных смещений узлов равно степени геометрической изменяемости шарнирной системы, полученной из заданной, путем введения во все жесткие узлы, включая и опорные, полных шарниров.

На основании о пренебрежении продольными деформациями элементов, для плоской рамы (рис. 2.11, а), линейные смещения узлов отсутствуют. При этом, шарнирная схема (рис. 2.11, б) является геометрически неизменяемой.

Рис. 2.12

Рамы, шарнирные схемы которых являются геометрически неизменяемыми, относятся к категории, так называемых, закрепленных или несвободных. Для таких рам число неизвестных перемещений легко определяется и оно всегда равно числу жестких узлов: n = ny. В нашем примере n = 3.

В качестве другого примера, рассмотрим раму, изображенную на рис. 2.12, a, число жестких узлов которого равно 2. Следовательно, nу = 2.

Шарнирная схема рамы один раз геометрически изменяемая, так как для превращения ее в геометрически неизменяемую необходимо ввести 1 стержень, например, так, как это показано на рис. 2.12, б. Итак, число линейных неизвестных перемещений nл = 1. Общее число неизвестных перемещений в рассматриваемой системе, изображенной на рис. 2.12, a, равно n = 2 + 1 = 3.

метода перемещений 

При расчете методом перемещений заданная система расчленяется на однопролетные статически неопределимые балки путем введения дополнительных связей, позволяющих исключить все линейные и угловые перемещения узлов заданной системы.

Рис. 2.13

Получаемая в результате система, называется основной системой метода перемещений. Например, для расчета заданной системы, изображенной на рис. 2.13, a по методу перемещений основная система будет иметь вид, представленный на рис. 2.13, б. При этом n = ny +nл = 6 + + 2 = 8.

Поскольку в заданной системе имеют место и повороты, и линейные смещения узлов, то основной системе надо придать такие же повороты и смещения, при этом добиваясь равенства нулю реакций во всех введенных связях, сопротивляющихся этим поворотам и смещениям. Тогда можно утверждать, что заданная и основная система в нагруженном состоянии являются эквивалентными.

Обозначая, через R1, R2,..., Rn величины реактивных моментов и усилий в n  количестве дополнительно введенных элементах основной системы, математическая формулировка условий эквивалентности заданной и основной систем, будет иметь вид:

.(2.16)

Для раскрытия выражений реакций Ri (i = 1, 2,..., n), введем следующие обозначения:

Zi (i = 1, 2,..., n)  линейные и угловые перемещения узлов заданной системы при действии системы внешних сил;

rik (i, k = 1, 2,..., n)  реакция в iой дополнительно введенной связи от перемещения Zk = 1;

RiPq (i = 1, 2,..., n)  реакция в iой дополнительно введенной связи основной системы от действия заданной системы внешних сил.

С учетом принятых обозначений, суммарную реакцию в iой дополнительно введенной связи, можно записать в следующем виде:

Ri = ri1 Z1 + ri2 Z2 + ... + rin Zn + RiPq (i = 1, 2,..., n).(2.17)

Для того, чтобы основная система стала эквивалентна заданной, полную реакцию Ri (i = 1, 2,..., n) во всех введенных связях основной системы, согласно (2.16), необходимо приравнять нулю:

, (i = 1,2,3,...,n),

или в развернутой форме:

(2.18)

Здесь неизвестными являются перемещения Zi (i = 1, 2,..., n), т.е. возможные перемещения узлов заданной системы по направлению введенных связей в основной системе.

Уравнения (2.18) называются каноническими уравнениями метода перемещений. Коэффициенты этих уравнений обладают свойством симметрии rik = rki , что следует из теоремы о взаимности реакций, примененной к основной системе метода перемещений.

Проверкой правильности расчета рамы методом перемещений служат равенство нулю суммы моментов, передающихся на каждый узел с примыкающих к нему стержней, а также иные условия равновесия рамы.

Заметим, что в методе сил эти условия выполняются в каждой единичной эпюре и поэтому не обеспечивают проверку решения канонических уравнений.

Для определения коэффициентов rik и свободных членов RiPq системы канонических уравнений метода перемещений (2.18) необходимо предварительно построить эпюры моментов в основной системе от заданной системы внешних сил и от единичных перемещений Zi = 1. Все коэффициенты, а также свободные члены уравнений разделяются на две группы: коэффициенты и свободные члены, представляющие реактивные моменты во введенных дополнительных элементах; коэффициенты и свободные члены, представляющие реактивные усилия во введенных дополнительных элементах основной системы.

Коэффициенты и свободные члены, представляющие реактивные моменты во введенных элементах, определяются вырезанием узлов и составлением уравнений равновесия моментов М = 0, согласно методу сечений.

Коэффициенты и свободные члены, представляющие реактивные усилия во введенных связях основной системы определяются разрезанием элементов рамы и составлением уравнения равновесия сил на отсеченной части y = 0. При этом направление оси y выбирается так, чтобы уравнение получилось наиболее простым по форме.

Следовательно, для того, чтобы построить эпюру моментов в основной системе от действия системы внешних сил и от Zi = 1 (i = 1, 2,..., n), необходимо предварительно определить эпюру моментов в однопролетных статически неопределенных стержнях (входящих в состав основной системы, за исключением дополнительных элементов). Откуда следует, что в общем случае для реализации метода перемещений необходимо предварительно рассмотреть решение задачи об определении эпюр внутренних усилий в однопролетных статически неопределимых стержнях при кинематическом (линейном и угловом перемещении концевых сечений) и внешнем силовом и температурном нагружении.

ЛЕКЦИЯ № 24

2.7. Определение реакций в однопролетных статически неопределимых стержневых элементах

Сначала определим выражения изгибающих моментов и поперечных сил в однопролетных балках при единичных угловых перемещениях или при единичных относительных линейных смещениях концевых сечений (рис. 2.14, а).

Дифференциальное уравнение изгиба балок с постоянным поперечным сечением при отсутствии внешних нагрузок, действующих в пролете, записывается в виде:

Рис. 2.14

.(2.19)

Общее решение однородного дифференциального уравнения (2.16) запишем в следующем виде:

,(2.20)

откуда

.(2.21)

Вводим следующие граничные условия:

при х = 0, у = у0 ;  = 0 ;

при х = l, y = yl ;

= l .(2.22)

C учетом граничных условий задачи (2.22) из (2.20) и (2.21), получим:

c4 = у0 ;    c3 = 0 ; c1 l3 + c2 l2 + 0 l + у0 = yl ;

3 c1 l2 + 2 c2 l + 0 = l .(2.23)

В результате совместного рассмотрения уравнений (2.23) получим выражения произвольных постоянных сi (i = 1,2,3,4), представленное в следующем виде:

Далее определим выражения M и Q:

(2.24)

Для примера вычислим значения M и Q в концевых сечениях для балки с двумя защемленными концами при 0 = 1. В данном случае имеем: l = yl = у0 = 0.

Подставляя эти значения в (2.24) получим:

Результаты расчетов эпюры моментов и поперечных сил для однопролетных статически неопределимых балок с различными граничными условиями их закрепления и при различном характере кинематического нагружения обобщены в таблице 2.4 (пп. 3,4,8,9). Причем ординаты эпюры моментов отложены со стороны растянутого волокна.

Для определения эпюры моментов в однопролетных статически неопределимых балочных элементах основной системы от действия внешних сил, удобно применить метод сил.

Таблица 2.4

n/n

Схема балки и воздействия на нее

Эпюры изгибающих моментов1) и реакции

Формулы

1.

2.

3.

Окончание табл. 2.4

n/n

Схема балки и воздействия на нее

Эпюры изгибающих моментов1) и реакции

Формулы

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

2) h  высота поперечного сечения;   температурный коэффициент линейного расширения.




Возможно эти работы будут Вам интересны.

1. - 450 депутатов - образует общее число депутатов исходя из которого Конституция определяет долю необходимую д

2. Простые числа. Бесконечность мн-ва пр.чисел. Каноническое разложение сост.числа и его ед-ть.

3. Последним шагом алгоритма расшифрования будет применение перестановки IPк блоку L0Ro,в результате которого будет восстановлен блок Р открытого текста.

4. -го рода: i=12s дифференциальные уравнения второго порядка s число степеней свободы системы число неза.

5. Поле компл.чисел. Алгебр. и тригон. формы компл.числа. Действия над компл.числами. Извлечение корня из компл.числа.

6. . Восьмеричное 132 равно десятичному 1.

7. Назначение, боевые свойства ручных осколочных гранат, общее устройство. Принцип действия ручных осколочных, противотанковых гранат, их общее устройство и принцип работы. Порядок обращения с гранатами. Меры безопасности при метании гранат

8. Момент энерции равен сумме произведений элиментарных масс на квадрат их расстояний до базового множества .

9. -функция состояния системы равная сумме внутренней энергии u и работы ввода тела удельным объемом v в среду с

10. -обоснованное суждение о возможных состояниях объекта в будущем об альтернативных путях и сроках его осущес