Некоторые приемы отделения корней уравнения.

Работа добавлена: 2018-07-04






Некоторые приемы отделения корней уравнения.

Определение

Корень уравнения F(x) = 0 считается отделенным на отрезке[a, b], если на этом отрезке нет других корней.

Существует большой набор приемов и теорем, помогающие это сделать, но единой теории не существует.

Корни отделяются просто, если можно построить график функцииf(x). Точки пересечения графика с осью Оx дают значения корней, и по графику легко определить два числаaиb, между которыми заключен только один корень.

Пример 1. Отделить корни уравненияx3-3x-1=0.

Построим график функцииy = x3-3x-1 (рис.1). Кривая пересекает осьОx в трех точках. Следовательно, уравнение имеет три действительных корняс1 , с2 , с3. Из чертежа видно, чтос1[-2,1],с2[-1,0], с3[1,2]

Рис.1.

Если построение графикаy = f(x) вызывает затруднение, то уравнение (1) преобразовывают к виду f1(x) = f2(x)так, чтобы графики функцийf1(x) иf2(x) было легко построить. Абсциссы точек пересечения этих графиков и являются корнями уравнения. По графику определяют два числаa иb, между которыми заключен корень.

Пример 2. Отделить корни уравненияx - cos x = 0 .

Перепишем уравнение в виде:x = cos x и построим графики функцийy = x иy = cos x в промежутке [-,] (рис.2). Графики функций пересекаются в одной точке. Учитывая свойства функ-ций можно утверждать, что вне этого промежутка данное уравнение корней не имеет. Таким образом,c[ 0,/2].

Рис.2.

Рассмотренный способ отделения корней будем называтьграфическим.

Корни уравнения (1) можно отделить, используя приемы анализа функций, известные из курса математического анализа. Ниже приведены некоторые теоремы, знание которых необходимо при отделении корней.

Теорема 1 (о существовании нуля функции)

Если функцияf(x) непрерывна на отрезке [a,b] и на его концах принимает значения разного знака, то естьf(a)f(b)<0, то внутри отрезка существует хотя бы одна точка, в которой функцияf(x) обращается в нуль.

Проиллюстрируем теорему графически:

f(a)>0; f(b)<0.

Рис.3.

Теорема 2 (о существовании и единственности нуля функции).

Если функцияf(x) непрерывна на отрезке [a,b], принимает на его концах значения разного знака, то естьf(a) f(b) < 0, и первая производнаяf(x) сохраняет постоянный знак на интервале (a,b),то на этом интервале существует точка - и при том единственная - в которой функция f(x) обращается в нуль.

Проиллюстрируем теорему графически:

Рис.4.f(a)<0, f(b)>0; f(x)>0.

Рис.5. f(a)>0, f(b)<0; f(x)<0.

Пример 3. Отделить корни уравнения5x- 6x - 3 = 0.

Проведем аналитическое исследование заданной функции.

Функцияf(x) = 5x- 6x - 3 определена и непрерывна на всей числовой прямой. Находим первую производнуюf(x)= 5xln 5- 6и выделяем промежутки, внутри которых первая производная сохраняет знак. Для этого находим точки, в которых производная обращается в нуль:

5xln 5 - 6 = 0;

5x= 6 / ln 5;

x ln 5 = ln 6 - ln(ln 5);

x = (ln 6 - ln(ln 5))/ ln 5 (1.7918- 0.4759)/1.6094 0.8176;

Найденная точка делит числовую ось на два промежутка. Если значения функции на концах этих промежутков имеют противоположные знаки, то по теореме 2 каждый из них содержит корень уравнения и при том только один. Составим таблицу знаков функции на концах выделенных промежутков:

x

-

0.8176

+

знакf(x)

+

+

Следовательно, уравнение имеет два действительных корня, заключенных в промежутках: (-, 0.8176) , (0.8176, +).

Сузим каждый промежуток так, чтобы его границы были конечными:

x

- 1

0

0.8176

1

2

знакf(x)

+

+

Итак, уравнение имеет два действительных корня:с1[-1, 0 ],с2[1, 2].

Рассмотренный способ отделения корней будем называтьаналитическим.

Замечание. Если оказалось, что функцияf(x) в области определения не меняет знак, то это значит, что уравнение либо не имеет корней, либо имеет корень четной кратности, либо имеет четное число близлежащих корней.

Для полиномов, т.е. когдаF(x) = Pn(x)= anxn+ an -1xn-1 + + a1x+ a0,таких вспомогательных теорем гораздо больше.

Теорема 3 (Основная теорема алгебры).

У всякого многочленаPn(x) степени не ниже первой с произвольными коэффициентами (действительными или комплексными) число корней - с учетом их кратности - равно степени многочлена.

В данном случае учитываются все корни - как действительные, так и комплексные. Поэтому следует не забывать, что комплексные корни всегда попарно сопряженные.

Теорема 4 (теорема Декарта).

Количество действительных положительных корней уравненияPn(x)= 0 - с учетом их кратности - либо равно числу перемен знака в последовательности коэффициентов полиномаPn(x)уравнения, либо на четное число меньше.

Количество действительных отрицательных корней уравнения - с учетом их кратности - либо равно числу перемен знака в последовательности коэффициентов полиномаPn(-x), либо на четное число меньше.

При составлении последовательности коэффициентов, свободный членучитывается, а равные нулю коэффициентыне учитываются.

Пример 4. Отделить корни уравненияx3- 6x2 +20 = 0.

По основной теореме алгебры уравнение может иметь не более трех действительных корней. Для их отделения воспользуемся теоремой Декарта.

Выпишем последовательность коэффициентов заданного полинома:

коэффициент

1

6

+20

знак коэффициента

+

+

две смены знака

Следовательно, положительных действительных корней не более двух.

Теперь выпишем последовательность коэффициентов полинома

P3 (-x)= - x3- 6x2 +20:

коэффициент

1

6

+20

знак коэффициента

+

одна смена знака

Следовательно, отрицательных действительных корней не более одного.

ПолиномP3 (x)= x3- 6x2+ 20определен и непрерывен на всей числовой прямой. Находим первую производнуюP3(x) = 3x2- 2x=3x(x-4)и выделяем промежутки, внутри которых первая производная сохраняет знак:

x

(-, 0)

(0, 4)

(4, +)

знак P3(x)

+

+

Сузим промежутки так, чтобы их границы были конечными и найдем значение полинома на концах промежутков:

x

- 2

(-2, 0)

0

(0, 4)

4

(4, 6)

6

P3(x)

-12

20

-12

20

знак P3(x)

+

+

0

0

+

+

Итак, уравнение имеет три действительных корня:

с1(-2, 0 ),с2( 0, 4),с3(4, 6).

Пример 5. Отделить корни уравненияx5+ 3x4 - x3 -1 = 0.

По основной теореме алгебры уравнение может иметь не более пяти действительных корней. Для их отделения воспользуемся теоремой Декарта.

Выпишем последовательность коэффициентов заданного полинома:

коэффициент

1

+3

1

1

знак коэффициента

+

+

одна смена знака

Следовательно, положительных действительных корней не более одного.

Теперь выпишем последовательность коэффициентов полинома

P5(-x)= - x5+ 3x4 + x3-1:

коэффициент

1

+3

+1

1

знак коэффициента

+

+

две смены знака

Следовательно, отрицательных действительных корней не более двух.

Значит данное уравнение может иметь не более трех действительных корней. Определим, где они находятся.

ПолиномP5(x)= x5+ 3x4 - x3 -1определен и непрерывен на всей числовой прямой.

Перепишем уравнение в виде: x2+ 3x- 1= 1/x3 и построим графики функций

f1=x2+ 3x- 1=(x+3/2)2- 13/4 иf2= 1/x3. Графики функций пересекаются в трех точках.

Рис.6.

По графику определяем, что корни уравнения заключены в промежутках:

с1(-4,-3),с2(-1, 0 ),с3( 0, 1).




Возможно эти работы будут Вам интересны.

1. в отрезках уравнения плоскости Различные уравнения плоскости в пространстве Плоскос.

2. Тактические приемы подготовки и проведения предъявления для опознания живых лиц

3. Однако указатели на структуры имеют некоторые особенности о которых и пойдет речь.

4. . Правописание корней с безударными гласными: гласные проверяемые и не проверяемые ударением.

5. Психология личности и группы для студентов заочного отделения Предмет и за.

6. Психология личности и группы для студентов заочного отделения Андреева Г.

7. Психология личности и группы для студентов очного и заочного отделения Пре.

8. Краткий конспект лекций по курсу «Психология личности и группы» (для студентов заочного отделения)

9. . преобразование коэффициентов уравнения в случае параллельного переноса.

10. Уравнения (30)–(34) составляют систему линейных алгебраических уравнений для определения коэф-тов